Question

如圖所示，A、B為兩個(gè)村莊，AB、BC、CD為公路，BD為田地，AD為河寬，且CD與AD互相垂直．現(xiàn)在要從E處開始鋪設(shè)通往村莊A、村莊B的一條電纜，共有如下兩種鋪設(shè)方案：
方案一：E?D?A?B；
方案二：E?C?B?A．
經(jīng)測(cè)量得AB=4

3

千米，BC=10千米，CE=6千米，∠BDC=45°，∠ABD=15度．已知：地下電纜的修建費(fèi)為2萬(wàn)元/千米，水下電纜的修建費(fèi)為4萬(wàn)元/千米．
（1）求出河寬AD（結(jié)果保留根號(hào)）；
（2）求出公路CD的長(zhǎng)；
（3）哪種方案鋪設(shè)電纜的費(fèi)用低？請(qǐng)說明你的理由．

Answer 1

分析：（1）如圖所示，過點(diǎn)B作BF⊥AD，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．由于∠BDC=45°，∠ABD=15°，故利用三角形外角等于不相鄰兩個(gè)內(nèi)角和知∠BAF=60°，即在直角三角形中，知道斜邊求鄰邊用余弦得AF=ABcos60°=4

3

×

1

2

=2

3

（千米），又BF=ABsin60°=4

3

×

3

2

=6（千米）=DF所以可求出AD的值；
（2）過點(diǎn)B作BG⊥CD于G后，由矩形知BG=DF=6，由勾股定理知CG=8千米，有CD=CG+GD=14千米；
（3）由（2）得DE=CD-CE=8．方案一的鋪設(shè)費(fèi)用為：2（DE+AB）+4AD=40萬(wàn)元，方案二的鋪設(shè)費(fèi)用為：2（CE+BC+AB）=（32+8

3

）萬(wàn)元．故方案一的鋪設(shè)電纜費(fèi)用低．

解答：解：（1）過點(diǎn)B作BF⊥AD，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
由題意得：∠BAF=∠ABD+∠ADB=15°+45°=60°，
在Rt△BFA中，BF=ABsin60°=4

3

×

3

2

=6（千米），
AF=ABcos60°=4

3

×

1

2

=2

3

（千米）．
∵CD⊥AD，∠BDC=45°，
∴∠BDF=45°，
在Rt△BFD中，∵∠BDF=45°，
∴DF=BF=6千米．
∴AD=DF-AF=6-2

3

（千米）．
即河寬AD為（6-2

3

）千米；

（2）過點(diǎn)B作BG⊥CD于G，易證四邊形BFDG是正方形，
∴BG=BF=6千米．
在Rt△BGC中，CG=

BC2-BG2

=

102-62

=8（千米），
∴CD=CG+GD=14千米．
即公路CD的長(zhǎng)為14千米；

（3）方案一的鋪設(shè)電纜費(fèi)用低．
由（2）得DE=CD-CE=8千米．
∴方案一的鋪設(shè)費(fèi)用為：2（DE+AB）+4AD=40萬(wàn)元，
方案二的鋪設(shè)費(fèi)用為：2（CE+BC+AB）=（32+8

3

）萬(wàn)元．
∵40＜32+8

3

，
∴方案一的鋪設(shè)電纜費(fèi)用低．

點(diǎn)評(píng)：解此題的關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，只要把實(shí)際問題抽象到解直角三角形中，利用三角函數(shù)的知識(shí)，進(jìn)行解答即可．