Question

【題目】如圖，在△ABC中，BC=7cm，AC=24cm，AB=25cm，P點(diǎn)在BC上，從B點(diǎn)到C點(diǎn)運(yùn)動(不包括C點(diǎn))，點(diǎn)P運(yùn)動的速度為2cm/s；Q點(diǎn)在AC上從C點(diǎn)運(yùn)動到A點(diǎn)(不包括A點(diǎn))，速度為5cm/s．若點(diǎn)P、Q分別從B、C同時運(yùn)動，請解答下面的問題，并寫出探索主要過程：

（1）經(jīng)過多少時間后，P、Q兩點(diǎn)的距離為5cm？

（2）經(jīng)過多少時間后，的面積為15cm2？

（3）設(shè)運(yùn)動時間為t，用含t的代數(shù)式表示△PCQ的面積，并用配方法說明t為何值時△PCQ的面積最大，最大面積是多少？

Answer 1

【答案】（1）經(jīng)過1秒后，P、Q兩點(diǎn)的距離為5cm；（2）經(jīng)過或2秒后，的面積為15cm2；（3）=；當(dāng)時，最大，最大面積為

【解析】

（1）連接PQ，根據(jù)勾股定理的逆定理可得△ABC為直角三角形，∠C=90°，然后設(shè)x秒后，P、Q兩點(diǎn)的距離為5cm，根據(jù)勾股定理列出方程即可求出結(jié)論；

（2）設(shè)y秒后，的面積為15cm2，根據(jù)三角形的面積公式列出方程即可求出結(jié)論；

（3）利用三角形的面積公式即可用含t的代數(shù)式表示△PCQ的面積，然后配方，根據(jù)平方的非負(fù)性即可求出的取值范圍，從而求出其最值．

解：（1）連接PQ，

∵在△ABC中，BC=7cm，AC=24cm，AB=25cm，

∴BC2＋AC2=625=AB2

∴△ABC為直角三角形，∠C=90°

設(shè)x秒后，P、Q兩點(diǎn)的距離為5cm

根據(jù)題意可得BP=2x,CQ=5x

∴CP=BC－BP=7－2x

根據(jù)勾股定理可得CP2＋CQ2=PQ2

即（7－2x）2＋（5x）2=（5）2

解得：（不符合實(shí)際，舍去）

答：經(jīng)過1秒后，P、Q兩點(diǎn)的距離為5cm．

（2）設(shè)y秒后，的面積為15cm2

根據(jù)題意可得BP=2y,CQ=5y

∴CP=BC－BP=7－2y

∴

解得：

答：經(jīng)過或2秒后，的面積為15cm2．

（3）根據(jù)題意可得BP=2t,CQ=5t

∴CP=BC－BP=7－2t

∴=

=

=

=

=

=

∵

∴

∴（當(dāng)且僅當(dāng)取等號），即

∴當(dāng)時，最大，最大面積為．