Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+3與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A、B(1，0)，與y軸交于點(diǎn)D，直線AD：，拋物線頂點(diǎn)為C，作CH⊥x軸于點(diǎn)H.

(1)求拋物線的解析式；

(2)拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得S△ACD=S△MAB？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；

(3)若點(diǎn)P為x軸上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P與頂點(diǎn)C不重合)，PQ⊥AC于點(diǎn)Q，當(dāng)△PCQ與△ACH相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）（2）M（，4）、（，）、（，）（3）P（，）或（，）

【解析】

(1)根據(jù)題意直線AD：，可以求出點(diǎn)A坐標(biāo)，然后把A、B坐標(biāo)代入表達(dá)式求出二次函數(shù)解析式即可；

(2)先求出，進(jìn)而求出，根據(jù)面積公式可求出點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，把M的縱坐標(biāo)代入表達(dá)式求出橫坐標(biāo)即可求出M的坐標(biāo)；

(3) 分類討論，首先求出直線CM的解析式為，再聯(lián)立兩函數(shù)解析式即可得出交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用若點(diǎn)P在對(duì)稱軸左側(cè)，只能是，得得出答案即可．

解：(1)根據(jù)題意可得：，

把點(diǎn)和代入中，

得出：.

(2)如圖所示：根據(jù)(1)得：

所以：，

連接AC、BC之后求出，

，

故,已知,

的高為4，即M的縱坐標(biāo)為，

當(dāng)縱坐標(biāo)為4的時(shí)候，代入表達(dá)式：，得出：，

，

當(dāng)縱坐標(biāo)為的時(shí)候，代入表達(dá)式：，得出：，

，

綜合得：

(3) ①若點(diǎn)P在對(duì)稱軸右側(cè),如圖:

只能是，得

延長(zhǎng)CP交x軸于M，

設(shè),則，

即

設(shè)直線CM的解析式為，

則：，解得：，

，

聯(lián)立：，解得：或(舍去)

.

②若點(diǎn)P在對(duì)稱軸左側(cè),如圖:

只能是，得

過(guò)A作CA的垂線交PC于點(diǎn)F，作軸于點(diǎn)N.

由得,

由得,

∴ 則，

∴點(diǎn)F坐標(biāo)為

設(shè)直線CF的解析式為,

,解得：，

∴直線CF的解析式，

聯(lián)立：，解得：或(舍去)

綜合上述得：或