【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于圓O,且AB=AC,延長BC到點(diǎn)D,使CD=CA,連接AD交圓O于點(diǎn)E.
(1)求證:△ABE≌△CDE;
(2)填空:
①當(dāng)∠ABC的度數(shù)為 時,四邊形AOCE是菱形.
②若AE=,AB=2,則DE的長為 .
【答案】(1)詳見解析;(2)①60°;②.
【解析】
(1)根據(jù)AAS證明兩三角形全等;
(2)①先證明∠AOC=∠AEC=120°,∠OAE=∠OCE=60°,可得AOCE,由OA=OC可得結(jié)論;
②由△ABE≌△CDE知AE=CE=,AB=CD=2,,證△DCE∽△DAB得,據(jù)此求解即可.
(1)∵AB=AC,CD=CA,
∴∠ABC=∠ACB,AB=CD,
∵四邊形ABCE是圓內(nèi)接四邊形,
∴∠ECD=∠BAE,∠CED=∠ABC,
∵∠ABC=∠ACB=∠AEB,
∴∠CED=∠AEB,
∴△ABE≌△CDE(AAS);
(2)①當(dāng)∠ABC的度數(shù)為60°時,四邊形AOCE是菱形;
理由是:連接AO、OC,
∵四邊形ABCE是圓內(nèi)接四邊形,
∴∠ABC+∠AEC=180°,
∵∠ABC=60,
∴∠AEC=120°=∠AOC,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA=30°,
∵AB=AC,
∴△ABC是等邊三角形,
∴∠ACB=60°,
∵∠ACB=∠CAD+∠D,
∵AC=CD,
∴∠CAD=∠D=30°,
∴∠ACD=120°,
∵∠ECD=∠BAE=60°+30°=90°,
∴∠ACE=,120°﹣90°=30°,
∴∠OAE=∠OCE=60°,
∴四邊形AOCE是平行四邊形,
∵OA=OC,
∴AOCE是菱形;
②∵△ABE≌△CDE,
∴AE=CE=,AB=CD=2,
∵∠DCE=∠DAB,∠D=∠D,
∴△DCE∽△DAB,
∴,即,
解得DE=,
故答案為:.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校一棵大樹發(fā)生一定的傾斜,該樹與地面的夾角∠ABC=75°.小明測得某時大樹的影子頂端在地面C處,此時光線與地面的夾角∠ACB=30°;又過了一段時間,測得大樹的影子頂端在地面D處,此時光線與地面的夾角∠ADB=50°.若CD=8米,求該樹傾斜前的高度(即AB的長度).(結(jié)果保留一位小數(shù).參考數(shù)據(jù):sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.19,sin75°≈0.97,cos75°≈0.26,tan75°≈3.73,≈1.73)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+3與x軸的兩個交點(diǎn)分別為A、B(1,0),與y軸交于點(diǎn)D,直線AD:,拋物線頂點(diǎn)為C,作CH⊥x軸于點(diǎn)H.
(1)求拋物線的解析式;
(2)拋物線上是否存在點(diǎn)M,使得S△ACD=S△MAB?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,說明理由;
(3)若點(diǎn)P為x軸上方的拋物線上一動點(diǎn)(點(diǎn)P與頂點(diǎn)C不重合),PQ⊥AC于點(diǎn)Q,當(dāng)△PCQ與△ACH相似時,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)P、D分別是BC、AC邊上的點(diǎn),且∠APD=∠B.
(1)求證:AC·CD=CP·BP;
(2)若AB=10,BC=12,當(dāng)PD∥AB時,求BP的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,AB=AC≠BC,點(diǎn)D和點(diǎn)A在直線BC的同側(cè),BD=BC,∠BAC=α,∠DBC=β,且α+β=120°,連接AD,求∠ADB的度數(shù).(不必解答)
(1)小聰先從特殊問題開始研究,當(dāng)α=90°,β=30°時,利用軸對稱知識,以AB為對稱軸構(gòu)造△ABD的軸對稱圖形△ABD′,連接CD′(如圖2),然后利用α=90°,β=30°以及等邊三角形等相關(guān)知識便可解決這個問題.
請結(jié)合小聰研究問題的過程和思路,在這種特殊情況下填空:△D′BC的形狀是 三角形;∠ADB的度數(shù)為 .
(2)在原問題中,當(dāng)∠DBC<∠ABC(如圖1)時,請計(jì)算∠ADB的度數(shù);
(3)在原問題中,過點(diǎn)A作直線AE⊥BD,交直線BD于E,其他條件不變?nèi)?/span>BC=7,AD=2.請直接寫出線段BE的長為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),△ABO的邊AB垂直于x軸,垂足為點(diǎn)B,反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象經(jīng)過AO的中點(diǎn)C,交AB于點(diǎn)D,且AD=3.
(1)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,4)則點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ;
(2)若點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,n).
①求反比例函數(shù)y=的表達(dá)式;
②求經(jīng)過C,D兩點(diǎn)的直線所對應(yīng)的函數(shù)解析式;
(3)在(2)的條件下,設(shè)點(diǎn)E是線段CD上的動點(diǎn)(不與點(diǎn)C,D重合),過點(diǎn)E且平行y軸的直線l與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)F,求△OEF面積的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,點(diǎn)D、E、F分別在邊AB、AC、BC上,DE∥BC,DF∥AC,若△ADE與四邊形DBCE的面積相等,則△DBF與△ADE的面積之比為( )
A. B. C. D. 3-2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,AD是高,矩形PQMN的頂點(diǎn)P、N分別在AB、AC上,QM在邊BC上,若BC=8cm,AD=6cm,且PN=2PQ,則矩形PQMN的周長為( 。
A. 14.4cmB. 7.2cmC. 11.52cmD. 12.4cm
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