Question

【題目】如圖，△ABC和△ADE是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=，點(diǎn)P為射線BD，CE的交點(diǎn).

（1）求證：BD=CE；

（2）若AB=2，AD=1，把△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，

①當(dāng)∠EAC=時(shí)，求PB的長(zhǎng)；

②直接寫出旋轉(zhuǎn)過程中線段PB長(zhǎng)的最小值與最大值.

Answer 1

【答案】(1)詳見解析；（2）①或；②PB長(zhǎng)的最小值是，最大值是.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)已知條件易證△ADB≌△AEC，即可得BD=CE；（2）①分當(dāng)點(diǎn)E在AB上和當(dāng)點(diǎn)E在BA延長(zhǎng)線上兩種情況求PB的長(zhǎng)；

試題解析：(1)證明：∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=，

∴AB=AC，AD=AE.

∠DAB=.

∴△ADB≌△AEC.

∴BD=CE.

(2)解：①第一種情況：當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，BE=AB-AE=1.

∵∠EAC=，

∴CE=.

同(1)可證△ADB≌△AEC.

∴∠DBA=∠ECA.

∵∠PEB=∠AEC，

∴△PEB ∽△AEC .

∴. ∴.

∴.

第二種情況：當(dāng)點(diǎn)E在BA延長(zhǎng)線上時(shí)，BE=3.

∵∠EAC=，

∴ CE=.

同(1)可證△ADB≌△AEC.

∴∠DBA=∠ECA.

∵∠BEP=∠CEA，

∴△PEB ∽△AEC .

∴. ∴.

∴.

綜上，或.

②PB長(zhǎng)的最小值是，最大值是.