Question

20．如圖：在平面直角坐標系中，點A、C分別在x軸負半軸、y軸正半軸上，且四邊形ABCD為矩形，AB=4，點D與點A關于原點O成中心對稱，tan∠ACB=$\frac{4}{3}$，點E、F分別是線段AD、AC上的動點（點E不與點A、D重合），且∠CEF=∠ACB．
（1）求AC的長和點D的坐標；
（2）說明△AEF與△DCE相似；
（3）點M在第二象限，且在直線BC的下方，點N在平面內，是否存在這樣點M，使得以點B、C、M、N為頂點的四邊形是矩形，且矩形的長：寬=4：3？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由tan∠ACB的值，求出cos∠ACB的值，再由矩形ABCO，以及AB的長，求出BC與AC的長，利用對稱性確定出D坐標即可；
（2）由對稱性得到∠CDE=∠CAO，利用等式的性質得到一對角相等，利用兩角相等的三角形相似即可得證；
（3）根據(jù)題意得到點M在線段AB上，點N在y軸上，由于矩形的長：寬=4：3，得到$\frac{BC}{BM}=\frac{4}{3}$，或$\frac{BM}{BC}=\frac{4}{3}$，求得BM=$\frac{9}{4}$或BM=4（不合題意，舍去），于是得到結論．

解答 解：（1）由題意tan∠ACB=$\frac{4}{3}$，
∴cos∠ACB=$\frac{3}{5}$．
∵四邊形ABCO為矩形，AB=4，
∴BC=$\frac{AB}{tan∠ACB}$=3，AC=$\frac{BC}{cos∠ACB}$=5，
∴A點坐標為（-3，0），
∵點D與點A關于y軸對稱，
∴D（3，0）；

（2）點D與點A關于y軸對稱，∴∠CDE=∠CAO，
∵∠CEF=∠ACB，∠ACB=∠CAO，
∴∠CDE=∠CEF，
又∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠CDE+∠DCE（三角形外角性質）
∴∠AEF=∠DCE．
則在△AEF與△DCE中，∠CDE=∠CAO，∠AEF=∠DCE，
∴△AEF∽△DCE；

（3）存在，如圖，
∵點M在第二象限，且在直線BC的下方，點N在平面內，
∵B、C、M、N為頂點的四邊形是矩形，
∴點M在線段AB上，點N在y軸上，
∵矩形的長：寬=4：3，
∴$\frac{BC}{BM}=\frac{4}{3}$，或$\frac{BM}{BC}=\frac{4}{3}$，
∵BC=3，
∴BM=$\frac{9}{4}$或BM=4（不合題意，舍去），
∴M的坐標是（-3，$\frac{7}{4}$）．

點評 此題屬于相似形綜合題，涉及的知識有：銳角三角函數(shù)定義，相似三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵．