Question

13．已知：拋物線y=x²-4x-m（m＞0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，D為拋物線的頂點，C點關于拋物線對稱軸的對稱點為C′點．
（1）若m=5時，求△ABD的面積．
（2）若在（1）的條件下，點E在線段BC下方的拋物線上運動，求△BCE面積的最大值．
（3）寫出C點（0，-m）、C′點（4，-m）坐標（用含m的代數(shù)式表示）
如果點Q在拋物線的對稱軸上，點P在拋物線上，以點C、C′、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，直接寫出Q點和P點的坐標（可用含m的代數(shù)式表示）

Answer 1

分析 （1）將m=5代入y=x²-4x-m，得y=x²-4x-5，求出A、B、D三點的坐標，根據(jù)三角形面積公式即可求出△ABD的面積；
（2）點E在線段BC下方的拋物線上時，設E（m，m²-4m-5），過點E作y軸的平行線交BC于F．利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，可用含m的代數(shù)式表示點F的坐標，繼而可得線段EF的長，然后利用S_△BCE=S_△CEF+S_△BEF=$\frac{1}{2}$EF•BO，得出S關于m的二次函數(shù)解析式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值；
（3）把x=0代入y=x²-4x-m，求出C點坐標，再根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求出C′點的坐標；
以點C、C′、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，可分兩種情況：①CC′為對角線，由平行四邊形對角線的性質(zhì)可求出Q點和P點的坐標；②CC′為一條邊，根據(jù)平行四邊形對邊平行且相等，亦能求出Q點和P點的坐標．

解答 解：（1）若m=5時，拋物線即為y=x²-4x-5，
令y=0，得x²-4x-5=0，
解得x=5或x=-1，
則A（-1，0），B（5，0），AB=6．
∵y=x²-4x-5=（x-2）²-9，
∴頂點D的坐標為（2，-9），
∴△ABD的面積=$\frac{1}{2}$×AB×|y_D|=$\frac{1}{2}$×6×9=27；

（2）如圖1，過點E作y軸的平行線交BC于F．
在（1）的條件下，有y=x²-4x-5，則C（0，-5），
設直線BC的解析式為y=kx-5（k≠0）．
把B（5，0）代入，得0=5k-5，
解得k=1．
故直線BC的解析式為：y=x-5．
設E（m，m²-4m-5），則F（m，m-5），
∴S_△BCE=$\frac{1}{2}$EF•OB=$\frac{1}{2}$×（m-5-m²+4m+5）×5=-$\frac{5}{2}$（m-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{125}{8}$，
即S_△BCE=-$\frac{5}{2}$（m-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{125}{8}$，
∴當m=$\frac{5}{2}$時，△BCE面積的最大值是$\frac{125}{8}$；

（3）∵y=x²-4x-m（m＞0），
∴x=0時，y=-m，對稱軸為直線x=2，
∴C（0，-m），
∵C點關于拋物線對稱軸的對稱點為C′點，
∴C′（4，-m）．
以點C、C′、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形分兩種情況：
①線段CC′為對角線，如圖2，
∵平行四邊對角線互相平分，
∴PQ在對稱軸上，此時P點為拋物線的頂點，與D點重合，
∵y=x²-4x-m=（x-2）²-4-m，
∴P（2，-4-m），
∵線段PQ與CC′中點重合，C（0，-m），C′（4，-m），設Q（2，y），
∴$\frac{-4-m+y}{2}$=-m，解得y=4-m，
∴Q（2，4-m）；
②線段CC′為邊，如圖3，
∵以點C、C′、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，
∴PQ=CC′=4，
設點Q的坐標為（2，y），則點P坐標為（6，y）或（-2，y），
∵點P在拋物線上，
將x=6和x=-2分別代入y=x²-4x-m中，解得y均為12-m，
故點P的坐標為（6，12-m）或（-2，12-m），Q（2，12-m）．
綜上所述，如果點Q在拋物線的對稱軸上，點P在拋物線上，以點C、C′、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，Q點和P點的坐標分別是：
Q（2，4-m），P（2，-4-m）或Q（2，12-m），P（6，12-m） 或Q（2，12-m），P（-2，12-m）．
故答案為0，-m，4，-m．

點評 本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形的面積，平行四邊形的性質(zhì)，拋物線的性質(zhì)等知識，綜合性較強，難度適中．利用數(shù)形結(jié)合、分類討論是解題的關鍵．