Question

17．在?ABCD中，∠BAD、∠ABC、∠BCD、∠CDA平分線分別為AG、BE、CE、DG，BE與CE交于點(diǎn)E，AG與BE交于點(diǎn)F，AG與DG交于點(diǎn)G，CE與DG交于點(diǎn)H．
（1）如圖（1），已知AD=2AB，此時(shí)點(diǎn)E、G分別在邊AD、BC上．
①四邊形EFGH是B；
A．平行四邊形  B．矩形  C．菱形  D．正方形
②請(qǐng)判斷EG與AB的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）如圖（2），分別過點(diǎn)E、G作EP∥BC、GQ∥BC，分別交AG、BE于點(diǎn)P、Q，連結(jié)PQ、EG，求證：四邊形EPQG為菱形；
（3）已知AD=nAB（n≠2），判斷EG與AB的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)論）．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)角平分線和平行四邊形的性質(zhì)可求證∠BEC=∠AGD=∠EFG=90°；②利用AE∥BC，BE平分∠ABC，AG平分∠BAE，即可求出AE=AB=BG，從而得到四邊形AEGB是平行四邊形；
（2）根據(jù)平行四邊形的判定定理得到四邊形PEGQ是平行四邊形，根據(jù)角平分線的定義得到∠BAF+∠ABF=$\frac{1}{2}$（∠BAD+∠ABC）=90°，證得PG⊥EQ，然后根據(jù)菱形的判定定理即可得到結(jié)論；
（3）如圖1，當(dāng)n＞1時(shí)，延長(zhǎng)BE交AD于M，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABE=∠BEG，根據(jù)角平分線的定義得到∠ABE=∠CBE，等量代換得到∠BMD=∠GEM，∠ADG=∠AME，推出四邊形EGDM是等腰梯形，由等腰梯形的性質(zhì)得到EG=DM，根據(jù)已知條件和比的性質(zhì)得到得到GE=（n-1）AB；如圖2，當(dāng)n＜1，同理得到EG=（1-n）AB；當(dāng)n=1時(shí)，即AB=AD，四邊形EFGH不存在．

解答 解：（1）①當(dāng)AD=2AB時(shí)，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，
∴∠EBG+∠ECG=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠DCB）=90°，
即∠BEC=90°，
同理可證：∠AGD=∠EFG=90°
故選B；
②EG∥AB，EG=AB
理由：∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
同理可證：AB=BG，
∴AE=BG，
∴四邊形ABGE是平行四邊形，
∴EG∥AB，EG=AB，

（2）分別延長(zhǎng)EP，GQ，交AB于M，N，分別延長(zhǎng)PE，QG交CD于M′，N′，
∵在?ABCD中，
∴AB∥DC，∵PE∥BC，
∴四邊形MBCM′是平行四邊形，
∴MM′=BC，MB=M′C，∵PE∥BC，∴∠MEB=∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠MEB=∠ABE，∴MB=ME，同理M′E=M′C，∴ME=M′E，∴ME=$\frac{1}{2}$MM′，∵M(jìn)M′=BC，∴ME=$\frac{1}{2}$BC，同理NG=$\frac{1}{2}$BC，∴ME=NQ，∵GQ∥BC，
∴∠DAG=∠NAG，
∵AG平分∠BAD，∴∠DAG=∠NAG，
∴∠NAG=∠AGN，
∴AN=NQ，
∵M(jìn)B=ME，
AN=NG，ME=AM，∴MB=AN，
∴MB-MN=AN-MN，
即BN=AM，∵PE∥BC，
∴∠DAG=APM，
∵∠DAG=∠BAC，
∴∠APM=∠BAG，
∴AM=PM，
同理BN=QN，
∴PM=NQ，
∵M(jìn)E=NG，PM=QN，
∴PE=QG，
∵EP∥BC、GQ∥BC，
∴EP∥GQ
∴四邊形PEGQ是平行四邊形，
∵AG平分∠BAD，BE平分∠ABC，
∴∠BAF+∠ABF=$\frac{1}{2}$（∠BAD+∠ABC）=90°，
即∠AFB=90°，
∴PG⊥EQ，
∴?PEGQ是菱形；

（3）如圖1，當(dāng)n＞1時(shí)，延長(zhǎng)BE交AD于M，
∵EG∥AB，
∴∠ABE=∠BEG，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵AD∥BC，
∴∠AMB=∠MBC，
∴∠AME=∠BEG，
∴∠BMD=∠GEM，
∵DG平分∠ADC，
∴∠ADG=ABE，
∴∠ADG=∠AME，
∴MB∥DG，
∴四邊形EGDM是等腰梯形，
∴EG=DM，
∵AD=nAB，
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AM}{AD}$=$\frac{1}{n}$，
∴$\frac{DM}{AM}=\frac{n-1}{1}$，
∴$\frac{GE}{AB}$=$\frac{n-1}{1}$，
∴GE=（n-1）AB；
如圖2，當(dāng)n＜1，
同理BM=EG，AM=AD，
∴$\frac{EG}{AB}=\frac{1-n}{1}$，
∴EG=（1-n）AB；
當(dāng)n=1時(shí)，即AB=AD，四邊形EFGH不存在．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的平方和行政，菱形的判定，等腰梯形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．