Question

2．如圖，直線y=3x和雙曲線y=$\frac{3}{x}$（x＞0）交于點A，點P為雙曲線上一點，且∠POA=∠1+∠2，求點P的坐標．

Answer 1

分析 過點A作x平行線交y軸于點E，過點P作y軸的平行線交x軸于點F，交EA于點B，連接AP．將一次函數解析式代入到反比例函數解析式中解方程得出點A的坐標，再根據∠POA=∠1+∠2，且∠POA+∠1+∠2=90°，設出點P的坐標，利用分解圖形法求出△AOP的面積，再結合三角形的面積公式以及∠AOP=45°，即可求出點P的橫坐標，將其代入到點P的坐標中即可得出結論．

解答 解：過點A作x平行線交y軸于點E，過點P作y軸的平行線交x軸于點F，交EA于點B，連接AP．如圖所示．

將一次函數解析式y(tǒng)=3x代入到反比例函數解析式y(tǒng)=$\frac{3}{x}$（x＞0）中，
3x=$\frac{3}{x}$，即3x²=3，
解得：x=1，或x=-1（舍去）．
當x=1時，y=$\frac{3}{1}$=3，
∴點A的坐標為（1，3）．
設點P的坐標為（n，$\frac{3}{n}$）（n＞0），
則OF=n，OE=3，BP=3-$\frac{3}{n}$，AB=n-1，OA=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，OP=$\sqrt{{n}^{2}+（\frac{3}{n}）^{2}}$．
∵∠POA=∠1+∠2，且∠POA+∠1+∠2=90°，
∴∠POA=45°．
S_POA=S_矩形OFBE-S_△OAE-S_△OPF-S_△ABP=3n-$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$（3-$\frac{3}{n}$）（n-1）=$\frac{3}{2}$（1+$\frac{1}{n}$）（n-1）=$\frac{3}{2}$（n-$\frac{1}{n}$）．
又∵S_POA=$\frac{1}{2}$OA•OP•sin∠POA=$\frac{\sqrt{5}}{2}$$\sqrt{{n}^{2}+（\frac{3}{n}）^{2}}$=$\frac{3}{2}$（n-$\frac{1}{n}$），
即4n⁴-18n²-36=0，
解得：n²=6，或n²=-$\frac{3}{2}$（舍去）．
∵n＞0，
∴n=$\sqrt{6}$，
∴點P的坐標為（$\sqrt{6}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）．

點評 本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題、三角形的面積公式、角的計算以及解一元高次方程，解題的關鍵是通過兩種方法求面積找出關于點P橫坐標的一元四次方程．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，利用切割法以及直接求面積法分別表示出三角形的面積，根據面積相等得出關于點的橫坐標的一元高次方程是關鍵．