Question

6．如圖，已知等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，D為BC延長線上一點，連AD，以AD為邊在△ABC的同側作正方形ADEF
（1）證明：AC⊥EC；
（2）求證：2DB-BC=$\sqrt{2}$EC；
（3）若AF=4，AC=2$\sqrt{2}$，連CF，則S_△ECF=12+2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）過A作AM⊥BC于M，EN⊥BC于N，連接CE，根據等腰直角三角形的性質得到∠ABC=∠ACB=45°，根據正方形的性質得到AD=DE，∠ADE=90°，由全等三角形的質得到EN=DM，AM=DN，推出△CEN是等腰直角三角形，即可得到結論；
（2）過E作EH⊥CE交CF的延長線于H，根據等腰直角三角形的性質得到∠ABC=∠ACB=45°，根據正方形的性質得到AD=DE，∠ADE=90根據余角的性質得到∠BAD=∠CAF，根據全等三角形的性質得到CF=BD，∠ACF=∠ABD=45°，求得CH=$\sqrt{2}$CE，∠FED=∠HEC=90°，∴∠HEF=∠CED，根據全等三角形的性質得到HF=CD，等量代換即可得到結論；
（3）根據等腰直角三角形的性質得到AM=2，根據勾股定理得到DM=$\sqrt{A{D}^{2}-A{M}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，于是得到結論．

解答 （1）證明：如圖，過A作AM⊥BC于M，EN⊥BC于N，連接CE，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四邊形ADEF是正方形，
∴AD=DE，∠ADE=90°，
∵∠ADM+∠EDN=∠EDN+∠DEN=90°，
∴∠ADM=∠DEN，
在△ADM和△DEN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMD=∠END}\\{∠ADM=∠DEN}\\{AD=DE}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△DEN，
∴EN=DM，AM=DN，
∵AM=CM，
∴CM+CD=DN+CD，
∴CN=EN，
∴△CEN是等腰直角三角形，
∴∠ECN=45°，
∴∠ACE=180°-∠ACB-∠ECN=90°，
∴AC⊥CE；

（2）證明：如圖，過E作EH⊥CE交CF的延長線于H，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四邊形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD+∠CAD=∠BAC=90°，
∠CAF+∠CAD=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△ABD和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴CF=BD，∠ACF=∠ABD=45°，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，
∴∠FCE=45°，
∴CH=$\sqrt{2}$CE，
∵∠FED=∠HEC=90°，∴∠HEF=∠CED，
在△HEF與△CED中，$\left\{\begin{array}{l}{HE=EC}\\{∠HEF=∠CED}\\{EF=DE}\end{array}\right.$，
∴△HEF≌△CDE，
∴HF=CD，
∴2DB-BC=BD+CD=CF+HF=CH=$\sqrt{2}$EC，
∴2DB-BC=$\sqrt{2}$EC；

（3）∵AB=AC=2$\sqrt{2}$，
∴AM=2，
∵AD=AF=4，
∴DM=$\sqrt{A{D}^{2}-A{M}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴EN=CN=2$\sqrt{3}$，CF=BD=BM+DM=2+2$\sqrt{3}$，
∴S_△EFC=S_{四邊形CNEF}-S_△ENC=$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{3}$+2+2$\sqrt{3}$）×$2\sqrt{3}$=12+2$\sqrt{3}$．
故答案為：12+2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了正方形的性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，三角形面積的計算，正確的作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．