Question

如圖所示，⊙O₁和⊙O₂外切于點A，AB是⊙O₁的直徑，BD切⊙O₂于點D，交⊙O₁O₂
于點C，求證：AB•CD=AC•BD．

Answer 1

分析：連接DO₂，由BD為圓O₂的切線，利用切線的性質得到BD垂直于O₂D，由AB為圓O₁的直徑，利用直徑所對的角為直角，得到一對直角相等，再由一對公共角，利用兩對對應角相等的兩三角形相似得到三角形ABC與三角形O₂BD相似，由相似得比例，變形即可得證．

解答：證明：連接DO₂，
∵BD為圓O₂的切線，
∴BD⊥O₂D，
∵AB為圓O₁的直徑，
∴BC⊥AC，
∴∠ACB=∠O₂DB=90°，
∵∠ABC=∠O₂BD，
∴△ABC∽△O₂BD，
∴AB：AC=BO₂：DO₂，BD：DC=BO₂：AO₂，
∵DO₂=AO₂，
∴AB：AC=BD：DC，
即AB•CD=AC•BD．

點評：此題考查了相切兩圓的性質，相似三角形的判定與性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵．