Question

2．已知：拋物線y=x²+2（k+1）x+k²+2k．
（1）求證：無論k取任何實(shí)數(shù)，拋物線與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）設(shè)拋物線頂點(diǎn)為C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，求證：無論k取任何實(shí)數(shù)，△ABC的面積總為確定的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)原式等于0，利用根的判別式△＞0即可得出答案；
（2）根據(jù)拋物線解析式求得電費(fèi)A、B、C的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式可以求得△ABC的面積．

解答 （1）解：令y=0，則x²+2（k+1）x+k²+2k=0，
∴△=4（k+1）²-4（k²+2k）=4＞0，
∴無論k取任何實(shí)數(shù)，拋物線與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)．

（2）證明：解方程 x²+2（k+1）x+k²+2k=0，
得 x=-k，或x=-k-2．
∴A（-k-2，0），B（-k，0）．
∴AB=2．
∴AB的中點(diǎn)D（-k-1，0）．
當(dāng)x=-k-1時(shí)，y=-1．
∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y_c=-1．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB×|y_c|=1．
∴無論k取任何實(shí)數(shù)，△ABC的面積總為確定的值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)y=ax²+bx+c的交點(diǎn)與一元二次方程ax²+bx+c=0根之間的關(guān)系，拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，三角形的面積，難度適中．