【題目】已知拋物線的圖象經(jīng)過點、,頂點為,與軸交于點.
求拋物線的解析式和頂點的坐標(biāo);
如圖,為線段上一點,過點作軸平行線,交拋物線于點,當(dāng)的面積最大時,求點的坐標(biāo);
如圖,若點是直線上的動點,點、、所構(gòu)成的三角形與相似,請直接寫出所有點的坐標(biāo);
如圖,過作軸于點,是軸上一動點,是線段上一點,若,則的最大值為________,最小值為________.
【答案】(1)拋物線解析式為y=x2+2x+3,頂點坐標(biāo)E(1,4).(2)P(,).(3)Q點坐標(biāo)為(3,0),(3,6), (,),(,).(4)m的最大值為5,最小值為54.
【解析】
(1)利用待定系數(shù)法,把A、B兩點坐標(biāo)代入拋物線的解析式,轉(zhuǎn)化為解方程組即可.
(2)設(shè)P(a,3-a),則D(a,-a2+2a+3),根據(jù)S△BDC=S△PDC+S△PDB,構(gòu)建二次函數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決即可.
(3)根據(jù)相似三角形性質(zhì)和判定,分類討論.
(4)首先過C作CH⊥EF于H點,則CH=EH=1,然后分別從點M在EF左側(cè)與M在EF右側(cè)時去分析求解即可求得答案.
(1)∵拋物線y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A(1,0)、B(3,0),
∴,
解得,
∴拋物線解析式為y=x2+2x+3,
頂點坐標(biāo)E(1,4).
(2)如圖1中,
∵B(3,0),C(0,3)
∴直線BC的解析式為y=x+3,
設(shè)P(a,3a),則D(a,a2+2a+3),
∴PD=(a2+2a+3)(3a)=a2+3a,
∴S△BDC=S△PDC+S△PDB=
PDa+PD(3a)=PD3,
=(a2+3a)=(a)2+,
∵<0,
∴當(dāng)a=時,△BDC的面積最大,此時P(,).
(3)如圖2中,
∵C(0,3),E(1,4),B(3,0),
∴直線EC的解析式為y=x+3,直線BC的解析式為y=x+3,
∵1×(1)=1,
∴EC⊥BC,
∴∠ECB=90,
∴當(dāng)或時,點Q、C、E所構(gòu)成的三角形與△AOC相似,
即=或=,
∴CQ=或3,
∴Q1(3,0),Q2(,),
根據(jù)對稱性可知當(dāng)Q3(,),Q4(3,6)時也滿足條件,
綜上所述,Q點坐標(biāo)為(3,0),(3,6), (,),(,).
(4)如圖3中,過C作CH⊥EF于H點,則CH=EH=1,
當(dāng)M在EF左側(cè)時,
∵∠MNC=90,
則△MNF∽△NCH,
∴,
設(shè)FN=n,則NH=3n,
∴,
即n23nm+1=0,
關(guān)于n的方程有解,△=(3)24(m+1)0,
得m54,
當(dāng)M在EF右側(cè)時,Rt△CHE中,CH=EH=1,∠CEH=45,即∠CEF=45,
作EM⊥CE交x軸于點M,則∠FEM=45,
∵FM=EF=4,
∴OM=5,
即N為點E時,OM=5,此時m的值最大,
∴m5,
∴m的最大值為5,最小值為54,
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【題目】如圖,中,,的平分線和的外角平分線相交于點,分別交和的延長線于,.過作交的延長線于點,交的延長線于點,連接交于點.下列結(jié)論:①;②垂直平分;③;④;其中正確的結(jié)論有( )
A.4個B.3個C.
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【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=2,AD=4,動點E在邊BC上,與點B、C不重合,過點A作DE的垂線,交直線CD于點F.設(shè)DF=x,EC=y.
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出x的取值范圍.
(2)當(dāng)CF=1時,求EC的長.
(3)若直線AF與線段BC延長線交于點G,當(dāng)△DBE與△DFG相似時,求DF的長.
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【題目】某水果店銷售某種水果,原來每箱售價元,每星期可賣箱.為了促銷,該水果店決定降價銷售.市場調(diào)查反映:每降價元,每星期可多賣箱.已知該水果每箱的進(jìn)價是元,設(shè)該水果每箱售價元,每星期的銷售量為箱.
求與之間的函數(shù)關(guān)系式;
當(dāng)每箱售價定為多少元時,每星期的銷售利潤最大,最大利潤多少元?
若該水果店銷售這種水果每星期想要獲得不低于元的利潤,每星期至少要銷售該水果多少箱?
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【題目】在“愛我永州”中學(xué)生演講比賽中,五位評委分別給甲、乙兩位選手的評分如下:
甲:8、7、9、8、8
乙:7、9、6、9、9
則下列說法中錯誤的是( )
A.甲、乙得分的平均數(shù)都是8
B.甲得分的眾數(shù)是8,乙得分的眾數(shù)是9
C.甲得分的中位數(shù)是9,乙得分的中位數(shù)是6
D.甲得分的方差比乙得分的方差小
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【題目】如圖,已知正方形的邊長為,中心為點,現(xiàn)有邊長大小不確定的正方形,中心也為點,可繞點任意旋轉(zhuǎn),在旋轉(zhuǎn)過程中,正方形始終在正方形內(nèi)(包括正方形的邊),當(dāng)正方形邊長最大時,的最小值為________.
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【題目】近年來“哈羅單車”和“哈啰助力車”在街頭流行.隨著市民對這兩種車的使用率的提升,經(jīng)營“哈羅單車”和“哈啰助力車”的兩家公司也有了越來越高的收人.初三某班的實踐小組對兩家公司近10個周的收入進(jìn)行了調(diào)查,就收入(單位:千元)情況制作了如下的統(tǒng)計圖:
根據(jù)以上信息,整理分析數(shù)據(jù)如下:
公司 | 平均周收入/千元 | 周收入中位數(shù)/千元 | 周收入眾數(shù)/千元 | 方差 |
哈羅單車 | _____ | 6 | 6 | 1.2 |
哈啰助力車 | 6 | _____ | 4 | _____ |
(1)完成表格填空;
(2)“哈羅單車”和“哈啰助力車”在該地各有500輛和300輛.從收入的情況看,上個周這2家公司都達(dá)到了近10個周的最高收人.已知每騎用一次“哈羅單車”和“哈啰助力車”,公司就分別收人1元和2元,通過計算在上周每輛車的周平均騎用次數(shù),說明哪種車比較搶手?
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【題目】下列各組的兩個變量之間,成正比例的是( )
A.矩形的面積和它的一條邊長B.圓的半徑的它的面積
C.工作效率一定,工作量與工作時間D.路程一定,速度與時間
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