Question

5．如圖，矩形ABCD中，O為AC中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別與AB、CD交于點(diǎn)E，點(diǎn)F，連接BF交AC于點(diǎn)M，連接DE、BO．若∠COB=60°，F(xiàn)O=FC，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　�。�

• A． FB⊥OC，OM=CM
• B． △EOB≌△CMB
• C． 四邊形EBFD是菱形
• D． MB：OE=3：2

Answer 1

分析 先證明△BOC是等邊三角形，得FO=FC，BO=BC，故A正確，再證明四邊形EBFD是平行四邊形，由BE=BF推出四邊形EBFD是菱形故C正確，設(shè)FM=a，則OF=OE=2a，F(xiàn)B=4a，由此推出D正確，由此不難得到答案．

解答 解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵AO=OC，
∴BO=OC=OA，
∵∠COB=60°，
∴△BCO是等邊三角形，
∴∠ACB=∠OBC=60°，BC=OB，
∵FO=FC，BO=BC，
∴FB⊥OC，OM=CM，故A正確，
∴∠CBM=∠MBO=∠OBA=30°，∠FCO=∠FOC=30°，∠OFB=∠BFC=60°，
∴∠EBF=∠BFE=60°，
∴△EFB是等邊三角形，
∴BE=BF，
在△FOC和△EOA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FOC=∠AOE}\\{∠FCO=∠OAE}\\{OC=OA}\end{array}\right.$，
∴△FOC≌△EOA，
∴AE=CF，OE=OF，
∵DC=AB，
∴DF=EB，
∵DF∥EB，
∴四邊形EBFD是平行四邊形，
∵BE=BF，
∴四邊形EBFD是菱形，故C正確，
設(shè)FM=a，
在RT△OFM中，∵∠FOM=30°，
∴OF=2FM=2a，
在RT△FOB中，∵∠FOB=90°，∠FBO=30°，
∴BF=2OF=4a，
∴BM=3a，
∴BM：OE=3：2，故D正確．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)．全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決問題，屬于中考�？碱}型．