【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx﹣經(jīng)過點A(1,0)和點B(5,0),與y軸交于點C.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)以點A為圓心,作與直線BC相切的⊙A,求⊙A的半徑;
(3)在直線BC上方的拋物線上任取一點P,連接PB,PC,請問:△PBC的面積是否存在最大值?若存在,求出這個最大值的此時點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=﹣+2x﹣;(2);(3)存在最大值,此時P點坐標(biāo)(,).
【解析】
(1)將A、B兩點坐標(biāo)分別代入拋物線解析式,可求得待定系數(shù)a和b,即可確定拋物線解析式;(2)因為圓的切線垂直于過切點的半徑,所以過A作AD⊥BC于點D,則AD為⊙A的半徑,由條件可證明△ABD∽△CBO,根據(jù)拋物線解析式求出C點坐標(biāo),根據(jù)勾股定理求出BC的長,再求出AB的長,利用相似三角形的性質(zhì)即兩個三角形相似,對應(yīng)線段成比例,可求得AD的長,即為⊙A的半徑;(3)先由B,C點坐標(biāo)求出直線BC解析式,然后過P作PQ∥y軸,交直線BC于點Q,交x軸于點E,因為P在拋物線上,P,Q點橫坐標(biāo)相同,所以可設(shè)出P、Q點的坐標(biāo),并把PQ的長度表示出來,進(jìn)而表示出△PQC和△PQB的面積,兩者相加就是△PBC的面積,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)討論其最大值,容易求得P點坐標(biāo).
解:(1)∵拋物線y=ax2+bx﹣經(jīng)過點A(1,0)和點B(5,0),
∴把A、B兩點坐標(biāo)代入可得:,
解得:,
∴拋物線解析式為y=﹣+2x﹣;
(2)過A作AD⊥BC于點D,
如圖1:因為圓的切線垂直于過切點的半徑,所以AD為⊙A的半徑,
由(1)可知C(0,﹣),且A(1,0),B(5,0),
∴OB=5,AB=OB﹣OA=4,OC=,
在Rt△OBC中,由勾股定理可得:BC===,∵∠ADB=∠BOC=90°,∠ABD=∠CBO,
∴△ABD∽△CBO,
∴,即,
解得AD=,
即⊙A的半徑為;
(3)∵C(0,﹣),
∴設(shè)直線BC解析式為y=kx﹣,
把B點坐標(biāo)(5,0)代入可求得k=,
∴直線BC的解析式為y=x﹣,
過P作PQ∥y軸,交直線BC于點Q,交x軸于點E,
如圖2,因為P在拋物線上,Q在直線BC上,P,Q兩點橫坐標(biāo)相同,
所以設(shè)P(x,﹣+2x﹣),
則Q(x,x﹣),
∴PQ=(﹣+2x﹣)﹣(x﹣)=﹣+x=﹣+,∴S△PBC=S△PCQ+S△PBQ
=PQOE+PQBE=PQ(OE+BE)
=PQOB=PQ
=×[﹣+]
=,
∵<0,∴當(dāng)x=時,S△PBC有最大值,
把x=代入﹣+2x﹣,
求出P點縱坐標(biāo)為,
∴△PBC的面積存在最大值,此時P點坐標(biāo)(,).
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【題目】如圖,已知正方形與,點E在上,且為的中點,點在線段的反向廷長線上.請利用無刻度的直尺按下列要求畫圖(保留畫圖的痕跡).
(1)在圖1中,畫出的中點;
(2)在圖2中,畫出的垂直平分線.
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【題目】為響應(yīng)市政府關(guān)于“垃圾不落地市區(qū)更美麗”的主題宣傳活動,某校隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生對垃圾分類知識的掌握情況.調(diào)查選項分為“A:非常了解,B:比較了解,C:了解較少,D:不了解”四種,并將調(diào)查結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問題:
(1)把兩幅統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整;
(2)若該校學(xué)生有2000名,根據(jù)調(diào)查結(jié)果,估計該!胺浅A私狻迸c“比較了解”的學(xué)生共有 名;
(3)已知“非常了解”的同學(xué)有3名男生和1名女生,從中隨機(jī)抽取2名進(jìn)行垃圾分類的知識交流,請用畫樹狀圖或列表的方法,求恰好抽到一男一女的概率.
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【題目】某銷售商準(zhǔn)備在南充采購一批絲綢,經(jīng)調(diào)查,用10000元采購A型絲綢的件數(shù)與用8000元采購B型絲綢的件數(shù)相等,一件A型絲綢進(jìn)價比一件B型絲綢進(jìn)價多100元.
(1)求一件A型、B型絲綢的進(jìn)價分別為多少元?
(2)若銷售商購進(jìn)A型、B型絲綢共50件,其中A型的件數(shù)不大于B型的件數(shù),且不少于16件,設(shè)購進(jìn)A型絲綢m件.
①求m的取值范圍.
②已知A型的售價是800元/件,銷售成本為2n元/件;B型的售價為600元/件,銷售成本為n元/件.如果50≤n≤150,求銷售這批絲綢的最大利潤w(元)與n(元)的函數(shù)關(guān)系式.
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【題目】如圖,O是ABC的邊AB上一點,⊙O經(jīng)過點A、C,交AB于點D.過點C作CE⊥AB,垂足為E.連接CD,CD恰好平分∠BCE.
(1)求證:直線BC是⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑為3,CD=2,求BC的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O,過點D作DE∥AC且DE=OC,連接CE、OE,連接AE交OD于點F.
(1)求證:OE=CD;
(2)若菱形ABCD的邊長為4,∠ABC=60°,求AE的長.
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【題目】已知一張三角形紙片如圖甲,其中將紙片沿過點B的直線折疊,使點C落到AB邊上的E點處,折痕為如圖乙再將紙片沿過點E的直線折疊,點A恰好與點D重合,折痕為如圖丙原三角形紙片ABC中,的大小為______
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【題目】為全面推進(jìn)“三供一業(yè)”分離移交工作,甲、乙兩個工程隊承攬了某社區(qū)2400米的電路管道鋪設(shè)工程.已知甲隊每天鋪設(shè)管道的長度是乙隊每天鋪設(shè)管道長度的1.5倍,若兩隊各自獨立完成1200米的鋪設(shè)任務(wù),則甲隊比乙隊少用10天.
(1)求甲、乙兩工程隊每天分別鋪設(shè)電路管道多少米;
(2)若甲隊參與該項工程的施工時間不得超過20天,則乙隊至少施工多少天才能完成該項工程?
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