Question

【題目】已知：在中，是直徑，為上一點，，垂足為，連接．

（1）如圖1，求證：；

（2）如圖2，為延長線上一點，且，求證：；

（3）如圖3，在（2）的條件下，連接并延長，交于，若，求的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）連接AC，首先通過圓周角定理的推論和等量代換得出 ，再通過等腰三角形的性質和等量代換得出，從而有，最后利用圓周角定理得出結論即可；

（2）延長BD交于點G，連接AG,CG,AC，首先通過平行線的判定及性質得出，進而證明，得出，再證明，得出，則結論可證；

（3）設，則，首先在中利用勾股定理求出x的值，進而得到OD,CD的值，再利用勾股定理求出BC的值，然后證明，得出，則CF可求．

（1）證明：如圖，連接AC，

∵AB是直徑，

．

，

，

，

．

，

，

，

，

；

（2）證明：延長BD交于點G，連接AG,CG,AC，

∵AB是直徑，

．

，

，

，

，

．

，

．

在和中，

，

．

，

．

， ，

．

在和中，

，

．

，

；

（3）如圖：

設，則，

，

．

，

，

，

解得或（舍去），

．

，

．

，

，

．

，

，

，

即，

．