(2013•江都市模擬)如圖,直線EF交⊙O于A、B兩點(diǎn),AC是⊙O直徑,DE是⊙O的切線,且DE⊥EF,垂足為E.
(1)求證:AD平分∠CAE;
(2)若DE=4cm,AE=2cm,求⊙O的半徑.

【答案】分析:(1)連接OD,得出∠OAD=∠ODA,再證明∠EAD=∠ODA,得出結(jié)論;
(2)連接CD,證明△AED∽△ADC,根據(jù)勾股定理和相似三角形的性質(zhì)求出半徑.
解答:(1)證明:連接OD,
∵OD=OA,
∴∠ODA=∠OAD,(1分)
∵DE是⊙O的切線,
∴∠ODE=90°,OD⊥DE,(1分)
又∵DE⊥EF,
∴OD∥EF,(1分)
∴∠ODA=∠DAE,
∴∠DAE=∠OAD,
∴AD平分∠CAE;(2分)

(2)解:連接CD,
∵AC是⊙O直徑,
∴∠ADC=90°,(1分)
在Rt△ADE中,DE=4cm,AE=2cm,
∴根據(jù)勾股定理得:AD=cm,(1分)
由(1)知:∠DAE=∠OAD,∠AED=∠ADC=90°,
∴△ADC∽△AED,
,(1分)即
∴AC=10,(1分)
∴⊙O的半徑是5.(1分)
點(diǎn)評:本題考查了切線的性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì),重在知識相互間的聯(lián)系.
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