Question

【題目】已知二次函數(shù)y=﹣x2+ax+b的圖象與y軸交于點(diǎn)A（0，﹣2），與x軸交于點(diǎn)B（1，0）和點(diǎn)C，D（m，0）（m＞2）是x軸上一點(diǎn)．

（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)E是第四象限內(nèi)的一點(diǎn)，若以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)的Rt△CDE與以A，O，B為頂點(diǎn)的三角形相似，求點(diǎn)E坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；
（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在一點(diǎn)F，使得四邊形BCEF為平行四邊形？若存在，請求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：根據(jù)題意，得 ，

解得： ，

∴二次函數(shù)的解析式為：y=﹣x2+3x﹣2；

（2）

當(dāng)y=0時(shí)，有﹣x2+3x﹣2=0，

解得，x1=1，x2=2，

∴OC=2．

由題意得AO=2，BO=1，CD=m﹣2．

當(dāng)△CDE∽△AOC時(shí)，

得 = ，

∴ = ，

∴DE= ．

∵點(diǎn)E在第四象限，

∴E1（m， ）．

當(dāng)△DEC∽△AOC時(shí)，得 = ，

∴ = ．

∴DE=2m﹣4．

∵點(diǎn)E在第四象限，

∴E2（m，4﹣2m）；

（3）

假設(shè)拋物線上存在一點(diǎn)F，使得四邊形BCEF為平行四邊形，則EF=BC=1，

點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為m﹣1，

當(dāng)點(diǎn)E1的坐標(biāo)為：（m， ）時(shí)，點(diǎn)F1的坐標(biāo)為：（m﹣1， ），

∵點(diǎn)F1在拋物線的圖象上，

∴ =﹣（m﹣1）2+3（m﹣1）﹣2，

∴2m2﹣11m+14=0，

∴（2m﹣7）（m﹣2）=0，

解得：m1= ，m2=2（舍去），

∴F1（ ，﹣ ）．

當(dāng)點(diǎn)E2的坐標(biāo)為：（m，4﹣2m）時(shí)，點(diǎn)F2的坐標(biāo)為：（m﹣1，4﹣2m），

∵點(diǎn)F2在拋物線的圖象上，

∴4﹣2m=﹣（m﹣1）2+3（m﹣1）﹣2，

∴m2﹣7m+10=0，

∴（m﹣2）（m﹣5）=0，

∴解得：m1=2（舍去），m2=5，

∴F2（4，﹣6），

∴使得四邊形BCEF為平行四邊形的點(diǎn)F的坐標(biāo)為：F1（ ，﹣ ），F(xiàn)2（4，﹣6）．

【解析】（1）直接將A，B點(diǎn)代入二次函數(shù)解析式進(jìn)而得出答案；（2）分別利用當(dāng)△CDE∽△AOC時(shí)以及當(dāng)△DEC∽△AOC時(shí)，分別得出E點(diǎn)坐標(biāo)即可；（3）利用平行四邊形的性質(zhì)表示出F點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)而得出答案．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補(bǔ)；平行四邊形的對角線互相平分；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．