Question

已知關于x的方程x²+（m+2）x+2m﹣1=0．

（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根．

（2）當m為何值時，方程的兩根互為相反數(shù)？并求出此時方程的解．

Answer 1

【考點】根的判別式；根與系數(shù)的關系．

【專題】計算題．

【分析】（1）先計算出△=（m+2）²﹣4（2m﹣1），變形得到△=（m﹣2）²+4，由于（m﹣2）²≥0，則△＞0，然后根據(jù)△的意義得到方程有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）利用根與系數(shù)的關系得到x₁+x₂=0，即m+2=0，解得m=﹣2，則原方程化為x²﹣5=0，然后利用直接開平方法求解．

【解答】（1）證明：△=（m+2）²﹣4（2m﹣1）

=m²﹣4m+8

=（m﹣2）²+4，

∵（m﹣2）²≥0，

∴（m﹣2）²+4＞0，

即△＞0，

所以方程有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）設方程的兩個根為x₁，x₂，由題意得：

x₁+x₂=0，即m+2=0，解得m=﹣2，

當m=﹣2時，方程兩根互為相反數(shù)，

當m=﹣2時，原方程為x²﹣5=0，

解得：x₁=﹣，x₂=．

【點評】本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²﹣4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．也考查了解一元二次方程和根與系數(shù)的關系．