Question

如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，連接AD、DE，且∠1=∠B=∠C．

（1）由題設(shè)條件，請寫出三個正確結(jié)論：（要求不再添加其他字母和輔助線，找結(jié)論過程中添加的字母和輔助線不能出現(xiàn)在結(jié)論中，不必證明）
答：結(jié)論一：        ；結(jié)論二：         ；結(jié)論三：          ．
（2）若∠B=45°，BC=2，當(dāng)點(diǎn)D在BC上運(yùn)動時（點(diǎn)D不與B、C重合），
①求CE的最大值；
②若△ADE是等腰三角形，求此時BD的長．（注意：在第（2）的求解過程中，若有運(yùn)用（1）中得出的結(jié)論，須加以證明）

Answer 1

（1）AB=AC；∠AED=∠ADC；△ADE∽△ACD；（2）①；②1或2－.

試題分析：（1）根據(jù)平面圖形的基本性質(zhì)結(jié)合圖形特征即可得到結(jié)果；
（2）①先證得△ACB為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形可求得AC的長，證得△ADE∽△ACD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得到，再根據(jù)垂線段最短的性質(zhì)求解即可；
②分當(dāng)AD=AE時，當(dāng)EA=ED時，當(dāng)DA=DE時，這三種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)求解即可.
（1）AB=AC；∠AED=∠ADC；△ADE∽△ACD；
（2）①∵∠B=∠C，∠B=45°，
∴△ACB為等腰直角三角形。
∴。
∵∠1=∠C，∠DAE=∠CAD，
∴△ADE∽△ACD。
∴AD：AC=AE：AD，
∴ 
當(dāng)AD最小時， AE最小，此時AD⊥BC（直線外一點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)的連線段中垂線段最短），AD=BC=1。
∴AE的最小值為
∴CE的最大值=；
②當(dāng)AD=AE時，
∴∠1=∠AED=45°
∴∠DAE=90°
∴點(diǎn)D與B重合，不合題意舍去
當(dāng)EA=ED時，如圖1

∴∠EAD=∠1=45°
∴AD平分∠BAC
∴AD垂直平分BC
∴BD=1。
當(dāng)DA=DE時，如圖2

∵△ADE∽△ACD
∴DA：AC=DE：DC
∴DC=CA=
∴BD=BC－DC=2－
綜上所述，當(dāng)△ADE是等腰三角形時，BD的長的長為1或2－.
點(diǎn)評：此類問題綜合性強(qiáng)，難度較大，是中考常見題，一般以壓軸題形式出現(xiàn)，要特別注意.