【題目】如圖,已知△ABC,點(diǎn)A在BC邊的上方,把△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得△DBE,繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得△FEC,連接AD,AF.
(1)△ABD,△ACF,△BCE是什么特殊三角形?請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí),四邊形ADEF是正方形?請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí),以點(diǎn)A,D,E,F為頂點(diǎn)的四邊形不存在?請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)△ABD,△ACF,△BCE都是等邊三角形,理由見(jiàn)解析;(2)當(dāng)∠BAC=150°,且AB=AC時(shí),四邊形ADEF是正方形,理由見(jiàn)解析;(3)當(dāng)∠BAC=60°時(shí),以點(diǎn)A,D,E,F為頂點(diǎn)的四邊形不存在,理由見(jiàn)解析.
【解析】
(1)△ABD、△ACF、△BCE都是等邊三角形;
(2)當(dāng)∠BAC=150°且AB=AC時(shí),四邊形ADEF是正方形,理由為:由旋轉(zhuǎn)可知DE=AC,根據(jù)三角形ACF為等邊三角形,得到AC=AF,等量代換得到DE=AF,同理得到EF=AD,利用兩組對(duì)邊相等的四邊形為平行四邊形得到AFED為平行四邊形,若∠BAC=150°,利用周角定義求出∠DAF為直角,可得出平行四邊形AFED為矩形,再由AB=AC,三角形ADB與三角形ACF都是等邊三角形,得到AD=AF,矩形AFED為正方形,得證;
(3)當(dāng)∠BAC=60°時(shí),以A、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形不存在,理由為:若∠BAC=60°,三角形ADB與三角形ACF都是等邊三角形,利用周角定義求出∠DAF為平角,即D、A、E、F四點(diǎn)共線,即以A、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形不存在.
(1)△ABD,△ACF,△BCE都是等邊三角形,
理由:由旋轉(zhuǎn)可知:AB=DB,∠ABD=60°,
AC=FC,∠ACF=60°;BC=BE,∠CBE=60°,
∴△ABD,△ACF,△BCE都是等邊三角形;
(2)當(dāng)∠BAC=150°,且AB=AC時(shí),四邊形ADEF是正方形,
理由:∵△DBE是由△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)60°而得到的,∴DE=AC,
由(1)知△ACF為等邊三角形,
∴AC=AF,∴DE=AF,
同理可得EF=AD,
∴四邊形ADEF是平行四邊形,
若∠BAC=150°,則∠DAF=360°-∠BAC-∠DAB-∠FAC=360°-150°-60°-60°=90°,
∴四邊形ADEF是矩形,
又∵AB=AC,∴AD=AF,
則四邊形ADEF是正方形;
(3)當(dāng)∠BAC=60°時(shí),以點(diǎn)A,D,E,F為頂點(diǎn)的四邊形不存在,
理由:若∠BAC=60°,則∠DAF=360°-∠BAC-∠DAB-∠FAC=360°-60°-60°-60°=180°,
此時(shí),點(diǎn)A,D,E,F四點(diǎn)共線,
∴以點(diǎn)A,D,E,F為頂點(diǎn)的四邊形不存在.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,如圖1,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5,點(diǎn)E、F分別在邊AB、AD的延長(zhǎng)線上,且BE=DF,連接EF.
(1)證明:EF⊥AC;
(2)將△AEF繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α滿足0°<α<45°時(shí),設(shè)EF與射線AB交于點(diǎn)G,與AC交于點(diǎn)H,如圖所示,試判斷線段FH、HG、GE的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.
(3)若將△AEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周,連接DF、BE,并延長(zhǎng)EB交直線DF于點(diǎn)P,連接PC,試說(shuō)明點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑并求線段PC的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,□ABCD中,BD是它的一條對(duì)角線,過(guò)A、C兩點(diǎn)作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分別為E、F,延長(zhǎng)AE、CF分別交CD、AB于M、N。
(1)求證:四邊形CMAN是平行四邊形。
(2)已知DE=4,F(xiàn)N=3,求BN的長(zhǎng)。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,點(diǎn)E,F是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn),且AE=CF.
(1)圖中有哪幾對(duì)全等三角形,請(qǐng)一一列舉;
(2)求證:ED∥BF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,為銳角三角形,是邊上的高,正方形的一邊在上,頂點(diǎn)、分別在、上.已知,.
(1)求證:;
(2)求這個(gè)正方形的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某教學(xué)興趣小組想測(cè)量某建筑物的高度,他們?cè)?/span>A點(diǎn)測(cè)得屋頂C的仰角為30°,然后沿AD方向前進(jìn)10米,到達(dá)B點(diǎn),在B點(diǎn)測(cè)得屋頂C的仰角為60°,已知測(cè)量?jī)xAE的高度為1米,請(qǐng)你根據(jù)他們的測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算建筑物CF的高度(結(jié)果保留根號(hào)).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形中,,,,,、分別在、上,且,與相交于點(diǎn),與相交于點(diǎn).
(1)求證:四邊形為矩形;
(2)判斷四邊形是什么特殊四邊形?并說(shuō)明理由;
(3)求四邊形的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市舉行“行動(dòng)起來(lái),對(duì)抗霧霾”為主題的植樹(shù)活動(dòng),某街道積極響應(yīng),決定對(duì)該街道進(jìn)行綠化改造,共購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種樹(shù)共50棵,已知甲樹(shù)每棵800元,乙樹(shù)每棵1200元.
(1)若購(gòu)買兩種樹(shù)的總金額為56000元,求甲、乙兩種樹(shù)各購(gòu)買了多少棵?
(2)若購(gòu)買甲樹(shù)的金額不少于購(gòu)買乙樹(shù)的金額,至少應(yīng)購(gòu)買甲樹(shù)多少棵?
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