Question

已知x₁，x₂是關(guān)于x的一元二次方程x²+（3a-1）x+2a²-1=0的兩個實數(shù)根，其滿足（3x₁-x₂）（x₁-3x₂）=-80．求實數(shù)a的所有可能值．

Answer 1

考點：根與系數(shù)的關(guān)系,根的判別式

專題：計算題

分析：根據(jù)△的意義由一元二次方程x²+（3a-1）x+2a²-1=0的兩個實數(shù)根得到△≥0，即（3a-1）²-4（2a²-1）=a²-6a+5≥0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=-（3a-1），x₁•x₂=2a²-1，由（3x₁-x₂）（x₁-3x₂）=-80變形得到3（x₁+x₂）²-16x₁x₂=-80，于是有3（3a-1）²-16（2a²-1）=-80，解方程得到a=3或a=-

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，然后代入△驗算即可得到實數(shù)a的值．

解答：解：∵x₁，x₂是關(guān)于x的一元二次方程x²+（3a-1）x+2a²-1=0的兩個實數(shù)根，
∴△≥0，即（3a-1）²-4（2a²-1）=a²-6a+5≥0
所以a≥5或a≤1．…（3分）
∴x₁+x₂=-（3a-1），x₁•x₂=2a²-1，
∵（3x₁-x₂）（x₁-3x₂）=-80，即3（x₁²+x₂²）-10x₁x₂=-80，
∴3（x₁+x₂）²-16x₁x₂=-80，
∴3（3a-1）²-16（2a²-1）=-80，
整理得，5a²+18a-99=0，
∴（5a+33）（a-3）=0，解得a=3或a=-

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，
當(dāng)a=3時，△=9-6×3+5=-4＜0，故舍去，
當(dāng)a=-

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時，△=（-

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）²-6×（-

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）+6=（

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）²+6×

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+6＞0，
∴實數(shù)a的值為-

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點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：如果方程的兩根為x₁，x₂，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了一元二次方程根的判別式以及代數(shù)式的變形能力．