【題目】正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6cm,點(diǎn)E、M分別是線段BD、AD上的動(dòng)點(diǎn),連接AE并延長(zhǎng),交邊BC于F,過M作MN⊥AF,垂足為H,交邊AB于點(diǎn)N.
(1)如圖1,若點(diǎn)M與點(diǎn)D重合,求證:AF=MN;
(2)如圖2,若點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā),以1cm/s的速度沿DA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā),以 cm/s的速度沿BD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s.
①設(shè)BF=y cm,求y關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式;
②當(dāng)BN=2AN時(shí),連接FN,求FN的長(zhǎng).
【答案】
(1)
解:∵四邊形ABCD 是正方形,
∴AD=AB,∠BAD=90°,
∵M(jìn)N⊥AF,
∴∠AHM=90°,
∴∠BAF+∠MAH=∠MAH+∠AMH=90°,
∴∠BAF=∠AMH,
在△AMN與△ABF中, ,
∴△AMN≌△ABF,
∴AF=MN
(2)
解:①∵AB=AD=6,
∴BD=6 ,
由題意得,DM=t,BE= t,
∴AM=6﹣t,DE=6 ﹣ t,
∵AD∥BC,
∴△ADE∽△FBE,
∴ ,即 ,
∴y= ;
②∵BN=2AN,
∴AN=2,BN=4,
由(1)證得∠BAF=∠AMN,∵∠ABF=∠MAN=90°,
∴△ABF∽△AMN,
∴ = ,即 = ,
∴BF= ,
由①求得BF= ,
∴ = ,
∴t=2,
∴BF=3,
∴FN= =5
【解析】(1)根據(jù)四邊形的性質(zhì)得到AD=AB,∠BAD=90°,由垂直的定義得到∠AHM=90°,由余角的性質(zhì)得到∠BAF=∠AMH,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論;(2)①根據(jù)勾股定理得到BD=6 ,由題意得,DM=t,BE= t,求得AM=6﹣t,DE=6 ﹣ t,根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論;②根據(jù)已知條件得到AN=2,BN=4,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BF= ,由①求得BF= ,得方程 = ,于是得到結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】掌握全等三角形的性質(zhì)和勾股定理的概念是解答本題的根本,需要知道全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等; 全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等;直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖①,已知線段AB=16 cm,點(diǎn)C為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)C不與A,B重合),點(diǎn)D,E分別是AC和BC的中點(diǎn).
(1)求DE的長(zhǎng);
(2)知識(shí)遷移:如圖②,已知∠AOB=130°,過角的內(nèi)部任一點(diǎn)C畫射線OC,若OD,OE分別平分∠AOC和∠BOC,試說明∠DOE的大小與射線OC的位置無(wú)關(guān).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,A、D、F、B在同一直線上,AD=BF,AE=BC,且AE∥BC.
求證:(1)EF=CD;(2)EF∥CD.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖①,已知AD∥BC,∠B=∠D=120°.
(1)請(qǐng)問:AB與CD平行嗎?為什么?
(2)若點(diǎn)E、F在線段CD上,且滿足AC平分∠BAE,AF平分∠DAE,如圖②,求∠FAC的度數(shù).
(3)若點(diǎn)E在直線CD上,且滿足∠EAC=∠BAC,求∠ACD:∠AED的值(請(qǐng)自己畫出正確圖形,并解答).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知兩個(gè)分別含有30°,45°角的一副直角三角板.
(1)如圖1疊放在一起
若OC恰好平分∠AOB,則∠AOD= 度;
若∠AOC=40°,則∠BOD= 度;
(2)如圖2疊放在一起,∠AOD=4∠BOC,試計(jì)算∠AOC的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(-3,3),B(-5,1),C(-2,0),P(a,b)是△ABC的邊AC上任意一點(diǎn),△ABC經(jīng)過平移后得到△A1B1C1,點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P1(a+6,b-2).
(1)直接寫出點(diǎn)C1的坐標(biāo);
(2)在圖中畫出△A1B1C1;
(3)求△AOA1的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商店經(jīng)銷某種玩具,該玩具每個(gè)進(jìn)價(jià) 20 元,為進(jìn)行促銷,商店制定如下“優(yōu)惠” 方案:如果一次銷售數(shù)量不超過 5 個(gè),則每個(gè)按 50 元銷售:如果一次銷售數(shù)量超過 5 個(gè),則每增加一個(gè),所有玩具均降低 1 元銷售,但單價(jià)不得低于 30 元,一次銷售該玩具的單價(jià) y(元)與銷售數(shù)量 x(個(gè))之間的函數(shù)關(guān)系如下圖所示.
(1)結(jié)合圖形,求出 m 的值;射線 BC 所表示的實(shí)際意義是什么;
(2)求線段 AB 滿足的 y 與 x 之間的函數(shù)解析式,并直接寫出自變量的取值范圍;
(3)當(dāng)銷售 15 個(gè)時(shí),商店的利潤(rùn)是多少元.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】直線AB、CD相交于點(diǎn)O,OE平分∠BOD.OF⊥CD,垂足為O,若∠EOF=54°.
(1)求∠AOC的度數(shù);
(2)作射線OG⊥OE,試求出∠AOG的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在一次測(cè)繪活動(dòng)中,某同學(xué)站在點(diǎn)A處觀測(cè)停放于B、C兩處的小船,測(cè)得船B在點(diǎn)A北偏東75°方向150米處,船C在點(diǎn)A南偏東15°方向120米處,則船B與船C之間的距離為______米(精確到0.1).
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