Question

已知直線y=

5

4

x+

5

2

于點(diǎn)A，和y軸相交于點(diǎn)C，和反比例函數(shù)y=

10

x

一象限的圖象交于點(diǎn)B，作直線BD，使∠ABD=90°，BD交x軸于點(diǎn)D．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求證：點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)；
（3）求BD所對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）由直線y=

5

4

x+

5

2

和反比例函數(shù)y=

10

x

在第一象限的圖象交于點(diǎn)B，可得方程組

y= 5 4 x+ 5 2 y= 10 x

，解此方程即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）首先由直線y=

5

4

x+

5

2

于點(diǎn)A，和y軸相交于點(diǎn)C，可求得點(diǎn)A與C的坐標(biāo)，然后過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于E，則點(diǎn)E的坐標(biāo)是（2，0），易得OC是△ABE的中位線，繼而證得結(jié)論；
（3）易證得△ABE∽△BED，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得D的長(zhǎng)，則可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得直線BD所對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的解析式．

解答：解：（1）由已知：

y= 5 4 x+ 5 2 y= 10 x

，
解得

x=2 y=5

，

x=-4 y=- 5 2

（舍去），
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2，5）；

（2）∵直線y=

5

4

x+

5

2

于點(diǎn)A，和y軸相交于點(diǎn)C，
∴A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-2，0），（0，

5

2

），
過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于E，則點(diǎn)E的坐標(biāo)是（2，0），
∵A（-2，0），E（2，0），O（0，0），
∴OA=OE=2，
∴O是AE的中點(diǎn)，
又∵OC⊥AE，BE⊥AE，
∴OC∥BE，
∴OC是△ABE的中位線，
即C是AB的中點(diǎn)；

（3）在Rt△ABD中，BE⊥AD，
∴∠AEB=∠BED=90°，
∴∠BAE+∠ABE=90°，
∵∠ABD=90°，
∴∠ABE+∠EBD=90°，
∴∠BAE=∠EBD，
∴△ABE∽△BED，
∴AE：BE=BE：ED，
∴BE²=AE•ED，
又∵AE=4，BE=5
∴ED=

25

4

，
∴OD=2+

25

4

=

33

4

，
點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

33

4

，0），
設(shè)直線BD為y=kx+b，
則

2k+b=5 33 4 k+b=0

，
解得：

k=- 4 5 b= 33 5

，
∴BD的方程為：y=-

4

5

x+

33

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于一次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)求一次函數(shù)解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)以及反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．