【題目】如圖:已知ABC是等邊三角形,D、EF分別是AB、ACBC邊的中點,M是直線BC上的任意一點,在射線EF上截取EN,使EN=FM,連接DM、MN、DN

1)如圖①,當(dāng)點M在點B左側(cè)時,請你按已知要求補全圖形,并判斷DMN是怎樣的特殊三角形(不要求證明);

2)請借助圖②解答:當(dāng)點M在線段BF上(與點B、F不重合),其它條件不變時,(1)中的結(jié)論是否依然成立?若成立,請證明;若不成立,請說明理由;

3)請借助圖③解答:當(dāng)點M在射線FC上(與點F不重合),其它條件不變時,(1)中的結(jié)論是否仍然成立?不要求證明.

【答案】(1)圖詳見解析,DMN是等邊三角形;(2)DMN仍是等邊三角形,證明詳見解析;(3)DMN不是等邊三角形.

【解析】

(1)連接DF,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)與三角形中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半的性質(zhì)可以證明DF=BD=EF=BF,然后證明BM=FN,∠MBD=∠NFD=120°,從而證明△BDM與△FDN全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得MD=DN,對應(yīng)角相等可得∠MDB=∠NDF,然后證明∠MDN=∠BDF=60°,所以△DMN是等邊三角形;(2)連接DF,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)與三角形中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半的性質(zhì)可以證明DF=BD=EF=BF,然后證明BM=FN,∠MBD=∠NFD=60°,從而證明△BDM與△FDN全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得MD=DN,對應(yīng)角相等可得∠MDB=∠NDF,然后證明∠MDN=∠BDF=60°,所以△DMN是等邊三角形; (3)沿用前兩問的思路,顯然不能證明△CDM與△FDN全等,所以△DMN不是等邊三角形.

解:(1)如圖①,

DMN是等邊三角形.

2)如圖②,當(dāng)M在線段BF上(與點B、F重合)時,DMN仍是等邊三角形.

證明:連接DF,

∵△ABC是等邊三角形,

∴∠ABC=60°,AB=AC=BC

DE、F分別是ABC三邊的中點,

DE、DF、EF是等邊三角形的中位線.

DF=ACBD=AB,EF=AB,BF=BC

∴∠BDF=A=DFE=60°,DF=BF=EF

∴∠ABC=DFE,

FM=EN

BM=NF

∴△BDM≌△FDN,

∴∠BDM=FDN,MD=ND

∴∠BDM+MDF=FDN+MDF=MDN=60°,

DMN是等邊三角形;

3)如圖③或圖④,當(dāng)點M在射線FC上(與點F不重合)時,(1)中的結(jié)論不成立,

DMN不是等邊三角形.

練習(xí)冊系列答案
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購買A商品的數(shù)量(個

購買B商品的數(shù)量(個

購買兩種商品的總費用(元)

第一次購買

6

5

1140

第二次購買

3

7

1110

(1)分別求出A、B兩種商品的標(biāo)價。

(2)最近商場實行2019新春的促銷活動,A,B兩種商品都打折且折扣數(shù)相同,于是林華前往商場花1062元又購買了9A商品和8B商品,試問本次促銷活動中A,B商品的折扣數(shù)都為多少?在本次購買中,林華共節(jié)約了多少錢?

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mn

m﹣n

S

m=3,n=1

3

2

m=5,n=2

10

3

當(dāng)a=2時,

2mn

m﹣n

S

m=3,n=1

6

2

m=5,n=2

20

3


(2)歸納證明:對任意m、n(m>n>0),猜想S=(用a,m,n表示),并證明你的猜想.
(3)拓展應(yīng)用:
若點A、B的橫坐標(biāo)分別為m、n(m>0>n),其它條件不變時,△AOB的面積S=(用a,m,n表示).

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