Question

如圖，拋物線經(jīng)過A（4，0）、B（1，0）、C（0，-2）三點．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）P是第一象限內(nèi)拋物線上一動點，過P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在P點，使得以A、P、M為頂點的三角形與△OAC相似？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用交點式，設拋物線解析式為：y=a（x-4）（x-1），進而代入（0，-2）求出a的值，即可得出答案；
（2）首先表示出P點坐標（m，-

1

2

m²+

5

2

m-2），進而利用相似三角形的性質分別得出m的值，進而得出答案．

解答：解：（1）設拋物線解析式為：
y=a（x-4）（x-1），
把c（0，-2）帶入得a=-

1

2

，
∴拋物線解析式為：y=-

1

2

（x-4）（x-1）=-

1

2

x²+

5

2

x-2；

（2）如圖，設P點橫坐標為m，則P點縱坐標為：-

1

2

m2+

5

2

m-2，
因為P是第一象限內(nèi)拋物線上一動點，所以1＜m＜4，
AM=4-m，PM=-

1

2

m²+

5

2

m-2，
又∵∠COA=∠PMA=90°，
①當

AM

PM

=

AO

CO

=

2

1

時，
△APM∽△ACO，
即4-m=2（-

1

2

m²+

5

2

m-2），
解得m₁=2，m₂=4（舍去），
∴P（2，1），
②當

AM

PM

=

CO

AO

=

1

2

時，△APM∽△CAO，
即4-m=

1

2

（-

1

2

m²+

5

2

m-2），
解得m₃=4，m₄=5（均不合題意，舍去），
∴1＜m＜4時，P點坐標為（2，1）．

點評：此題主要考查了交點式求二次函數(shù)解析式以及相似三角形的判定與性質等知識，利用分類討論得出是解題關鍵．