Question

如圖，直線y=-2x+n（n＞0）與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，S_△OAB=16，拋物線y=ax²+bx（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，頂點(diǎn)M在直線y=-2x+n上．
（1）求n的值；
（2）求拋物線的解析式；
（3）如果拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)N，那么在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使得△OPN和△AMN相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由直線y=-2x+n可以求得OA，OB的長(zhǎng)度，代入S_△OAB=16解得n值；
（2）由直線與拋物線之間的關(guān)系，判斷拋物線開口向下，且能求得對(duì)稱軸的值，以及頂點(diǎn)M，又能求得點(diǎn)A，代入拋物線解析式即可；
（3）使得△OPN和△AMN相似，有兩種情況：一種是點(diǎn)P與點(diǎn)M不重合，則由

PN

AN

=

ON

MN

，根據(jù)（2）所求得的線段長(zhǎng)度從而求得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，橫坐標(biāo)即為拋物線對(duì)稱軸，從而求得點(diǎn)P；另一種是點(diǎn)P與點(diǎn)M重合，即為點(diǎn)M坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵直線y=-2x+n（n＞0）與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=n即B（0，n）；當(dāng)y=0時(shí)，x=

n

2

即點(diǎn)A（

n

2

，0），
則OA=

n

2

，OB=n，
∴S△OAB=

1

2

OA•OB=

1

2

×n×

n

2

= 

1

4

n2=16，
解得n=±8．
∵n＞0，
∴n=-8不符題意，舍去．
故n=8；
答：n=8．

（2）由頂點(diǎn)M在直線y=-2x+8上，可設(shè)點(diǎn)M（x，-2x+8）．
由n=8，則點(diǎn)A（4，0），B（0，8）．
∵拋物線y=ax²+bx（a≠0）經(jīng)過(guò)原點(diǎn)及點(diǎn)A，且頂點(diǎn)M在直線y=-2x+8上，
∴a＜0，對(duì)稱軸為-

b

2a

= 

OA

2

，即-

b

2a

=2，
把點(diǎn)A（4，0）代入y=ax²+bx，得：16a+4b=0①，
把x=2代入y=-2x+8，得M（2，4），
把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入拋物線解析式，得4a+2b=4②，
由①②解得：a=-1，b=4．
∴拋物線解析式為：y=-x²+4x；
答：拋物線解析式為y=-x²+4x．

（3）由題意設(shè)點(diǎn)P（2，y），則y=PN．
要使得△OPN和△AMN相似，
有兩種情況：

一種：點(diǎn)P不與點(diǎn)M重合，則

PN

AN

=

ON

MN

，
在Rt△MNA中，AN=4-2=2，MN=4，
代入

y

2

=

2

4

，解得y=1．
∴點(diǎn)P（2，1）；
另一種：點(diǎn)P與點(diǎn)M重合．

則由題意可知點(diǎn)O與點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，
則△OPN≌△AMN，
∴△OPN∽△AMN，
∴點(diǎn)P（2，4）．
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為：（2，1）或（2，4）．
另外：點(diǎn)P與點(diǎn)M關(guān)于X軸對(duì)稱點(diǎn)也可以，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為：（2，-1）或（2，-4）．
答：點(diǎn)P坐標(biāo)為：（2，1）或（2，4）或（2，-1）或（2，-4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，其中涉及到了已知直線求線段的長(zhǎng)度，求拋物線解析式，以及動(dòng)點(diǎn)根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊比相等求點(diǎn)的坐標(biāo)．