Question

4．如圖，平面內(nèi)有一等腰直角三角形ABC（∠ACB=90°）和一直線MN．過點C作CE⊥MN于點E，過點B作BF⊥MN于點F，小明同學過點C作BF的垂線，如圖1，利用三角形全等證得AF+BF=2CE．
（1）若三角板繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，其他條件不變，試猜想線段AF、BF、CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．
（2）若三角板繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，其他條件不變，則線段AF、BF、CE之間的數(shù)量關(guān)系為BF-AF=2CE．

Answer 1

分析 （1）過點C作CG⊥BF，交BF延長線于點G，易證△CBG≌△CAE，根據(jù)全等三角形的對應邊相等，即可證得AF+BF=2CE；
（2）過點C做CD⊥BF，交FB的于點D，易證△ACE≌△BCD，根據(jù)全等三角形的對應邊相等，即可證得BF-AF=2CE．

解答 解：（1）AF-BF=2CE
圖2中，過點C作CG⊥BF，交BF延長線于點G，

∵AC=BC
可得∠AEC=∠CGB，
∠ACE=∠BCG，
在△CBG和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEC=∠CGB}\\{∠ACE=∠BCG}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△CBG≌△CAE（AAS），
∴AE=BG，
∵AF=AE+EF，
∴AF=BG+CE=BF+FG+CE=2CE+BF，
∴AF-BF=2CE；

（2）BF-AF=2CE；
如圖3，過點C做CD⊥BF，交FB的于點D，

∵AC=BC
可得∠AEC=∠CDB，
∠ACE=∠BCD，
在△CBD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEC=∠CDB}\\{∠ACE=∠BCD}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△CBD≌△CAE（AAS），
∴AE=BD，
∵AF=AE-EF，
∴AF=BD-CE=BF-FD-CE=BF-2CE，
∴BF-AF=2CE．
故答案為：BF-AF=2CE．

點評 此題考查幾何變換問題，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確作出垂線，構(gòu)造全等三角形是解決本題的關(guān)鍵．