【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),直線過(guò)點(diǎn)且與軸平行,直線過(guò)點(diǎn)且與軸平行,直線與相交于.點(diǎn)為直線上一點(diǎn),反比例函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)且與直線相交于點(diǎn).
(1)若點(diǎn)與點(diǎn)重合,求的值;
(2)連接、、,若的面積為面積的2倍,求點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)當(dāng)時(shí),在軸上是否存在一點(diǎn) ,使是等腰直角三角形?如果存在,直接寫(xiě)出點(diǎn)坐標(biāo):若不存在,說(shuō)明理由.
【答案】(1)2;(2)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(,2)或(3,2)時(shí)的面積為面積的2倍;(3)當(dāng)時(shí),G(0,1)或(0, ),此時(shí)是等腰直角三角形
【解析】
(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)得到點(diǎn)P的坐標(biāo),由點(diǎn)E與點(diǎn)P重合得到點(diǎn)E的坐標(biāo),將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入中即可求出k的值;
(2)根據(jù)題意畫(huà)出圖形,用k表示點(diǎn)E及點(diǎn)F的坐標(biāo),得到對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度,分三種情況利用的面積為面積的2倍分別求出k的值,即可得到點(diǎn)E的坐標(biāo);
(3)由知點(diǎn)E在點(diǎn)P的右邊,點(diǎn)F在點(diǎn)P的上邊,畫(huà)出圖象,設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)及點(diǎn)F的坐標(biāo),分三種情況,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明全等即可求出答案.
(1)由題意得點(diǎn)P(1,2),
∵點(diǎn)與點(diǎn)重合,
∴E(1,2),
∵的圖象過(guò)點(diǎn),
∴k=;
(2)①當(dāng)0<k<2時(shí),如圖1,
根據(jù)題意知:四邊形OAPB是矩形,BP=1,AP=2,,
∵點(diǎn)E、F都在反比例函數(shù)的圖象上,
∴E(,2),F(1,k),
∴BE=,PE=1-,AF=k,PF=2-k,
∵,
,
,
,
∴,
解得, (舍去),
∴E(,2);
當(dāng)k=2時(shí),△OEF不存在;
②當(dāng)k>2時(shí),如圖2,過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線EC,垂足為C,過(guò)點(diǎn)F作y軸的垂線FD,垂足為D,EC和FD相交于點(diǎn)H,則四邊形OCHD是矩形,
∵E(,2),F(1,k),
∴PE=-1,PF=k-2,
∴,
∵四邊形PEGF是矩形,
∴
∵,
,
=,
∴=2,
解得,(舍去),
∴E(3,2),
綜上,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(,2)或(3,2)時(shí)的面積為面積的2倍;
(3)存在,
∵k>0,
∴點(diǎn)E在點(diǎn)P的右邊,點(diǎn)F在點(diǎn)P的上邊,
①如圖3,∠FEG=90°,EF=EG,
設(shè)E(m,2),則F(1,2m),
∵∠EPF=EBG,EF=EG,∠FEP=∠BGE,
∴△FEP≌△EGB,
∴PF=BE,BG=EP,
∴m=2m-2,
∴m=2,
∴BG=PE=1,
∴G(0,1);
②如圖4,∠EFG=90°,EF=FG,作FM⊥y軸,
設(shè)E(m,2),則F(1,2m),
可得△FEP≌△FMG,
∴FM=FP,MG=EP,
∴2m-2=1,
∴m=,
∴F(1,3),E(,2),
∴MG=PE=-1=,
∴G(0, );
③∠EGF=90°的情況不存在,
綜上,當(dāng)時(shí),G(0,1)或(0, ),此時(shí)是等腰直角三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義:在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),當(dāng)x<0時(shí),點(diǎn)P的變換點(diǎn)P′的坐標(biāo)為(﹣x,y);當(dāng)x≥0時(shí),點(diǎn)P的變換點(diǎn)P′的坐標(biāo)為(﹣y,x).
(1)若點(diǎn)A(2,1)的變換點(diǎn)A′在反比例函數(shù)y=的圖象上,則k= ;
(2)若點(diǎn)B(2,4)和它的變換點(diǎn)B'在直線y=ax+b上,則這條直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為 ,∠BOB′的大小是 度.
(3)點(diǎn)P在拋物線y=x2﹣2x﹣3的圖象上,以線段PP′為對(duì)角線作正方形PMP'N,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,當(dāng)正方形PMP′N(xiāo)的對(duì)角線垂直于x軸時(shí),求m的取值范圍.
(4)拋物線y=(x﹣2)2+n與x軸交于點(diǎn)C,D(點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)),頂點(diǎn)為E,點(diǎn)P在該拋物線上.若點(diǎn)P的變換點(diǎn)P′在拋物線的對(duì)稱軸上,且四邊形ECP′D是菱形,求n的值.
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【題目】如圖,函數(shù)(x>0)和(x>0)的圖象分別是和.設(shè)點(diǎn)P在上,PA∥y軸交于點(diǎn)A,PB∥x軸,交于點(diǎn)B,△PAB的面積為( )
A. B. C. D.
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【題目】在眉山市櫻花節(jié)期間,岷江二橋一端的空地上有一塊矩形的標(biāo)語(yǔ)牌ABCD(如圖).已知標(biāo)語(yǔ)牌的高AB=5m,在地面的點(diǎn)E處,測(cè)得標(biāo)語(yǔ)牌點(diǎn)A的仰角為30°,在地面的點(diǎn)F處,測(cè)得標(biāo)語(yǔ)牌點(diǎn)A的仰角為75°,且點(diǎn)E,F(xiàn),B,C在同一直線上,求點(diǎn)E與點(diǎn)F之間的距離.(計(jì)算結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù):≈1.41,≈1.73)
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【題目】下列一元二次方程中,兩實(shí)根之和為1的是 ( )
A. x2—x+1=0 B. x2+x—3=0 C. 2 x2-x-1=0 D. x2-x-5=0
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【題目】如圖,在等邊△ABC中,E,F(xiàn)分別在邊AC、BC上,滿足AE=CF,連接BE,AF交于點(diǎn)P.
(1)求證:△ABE≌△CAF;
(2)求∠APB的度數(shù).
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【題目】如圖,已知點(diǎn),經(jīng)過(guò)A、B的直線以每秒1個(gè)單位的
速度向下作勻速平移運(yùn)動(dòng),與此同時(shí),點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),在直線上以每秒1個(gè)單位的速度沿直線向右下方向作勻速運(yùn)動(dòng).設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒.
(1)用含的代數(shù)式表示點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)過(guò)O作OC⊥AB于C,過(guò)C作CD⊥軸于D,問(wèn): 為何值時(shí),以P為圓心、1為半徑的圓與直線OC相切?并說(shuō)明此時(shí)與直線CD的位置關(guān)系.
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【題目】我們知道,實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的,任意一個(gè)實(shí)數(shù)在數(shù)軸上都能找到與之對(duì)應(yīng)的點(diǎn),比如我們可以在數(shù)軸上找到與數(shù)字2對(duì)應(yīng)的點(diǎn).
(1)在如圖所示的數(shù)軸上,畫(huà)出一個(gè)你喜歡的無(wú)理數(shù),并用點(diǎn)表示;
(2)(1)中所取點(diǎn)表示的數(shù)字是______,相反數(shù)是_____,絕對(duì)值是______,倒數(shù)是_____,其到點(diǎn)5的距離是______.
(3)取原點(diǎn)為,表示數(shù)字1的點(diǎn)為,將(1)中點(diǎn)向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,再取其關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn),求的長(zhǎng).
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【題目】小敏的爸爸買(mǎi)了某項(xiàng)體育比賽的一張門(mén)票,她和哥哥兩人都很想去觀看.可門(mén)票只有一張,讀九年級(jí)的哥哥想了一個(gè)辦法,拿了8張撲克牌,將數(shù)字為2,3,5,9的四張牌給小敏,將數(shù)字為4,6,7,8的四張牌留給自己,并按如下游戲規(guī)則進(jìn)行:小敏和哥哥從各自的四張牌中隨機(jī)抽出一張,然后將兩人抽出的兩張撲克牌數(shù)字相加,如果和為偶數(shù),則小敏去;如果和為奇數(shù),則哥哥去.
【1】請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)形圖或列表的方法求小敏去看比賽的概率;
【2】哥哥設(shè)計(jì)的游戲規(guī)則公平嗎?若公平,請(qǐng)說(shuō)明理由;若不公平,請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種公平的游戲規(guī)則.
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