【題目】如圖,已知半圓的直徑,在中,,,,半圓以的速度從左向右運動,在運動過程中,點、始終在直線上.設運動時間為,當時,半圓在的左側,.
當為何值時,的一邊所在直線與半圓所在的圓相切?
當的一邊所在直線與半圓所在的圓相切時,如果半圓與直線圍成的區(qū)域與三邊圍成的區(qū)域有重疊部分,求重疊部分的面積.
【答案】(1)1s或4s或7s或16s;(2)或.
【解析】
(1)隨著半圓的運動分四種情況:①當點E與點C重合時,AC與半圓相切,②當點O運動到點C時,AB與半圓相切,③當點O運動到BC的中點時,AC再次與半圓相切,④當點O運動到B點的右側時,AB的延長線與半圓所在的圓相切.分別求得半圓的圓心移動的距離后,再求得運動的時間.
(2)在1中的②,③中半圓與三角形有重合部分.在②圖中重疊部分是圓心角為90°,半徑為6cm的扇形,故可根據(jù)扇形的面積公式求解.在③圖中,所求重疊部分面積為=S△POB+S扇形DOP.
(1)①如圖,當點E與點C重合時,AC⊥OE,OC=OE=6cm,所以AC與半圓O所在的圓相切,此時點O運動了2cm,所求運動時間為:t==1(s);
②如圖,當點O運動到點C時,過點O作OF⊥AB,垂足為F.
在Rt△FOB中,∠FBO=30°,OB=12cm,則OF=6cm,即OF等于半圓O的半徑,所以AB與半圓O所在的圓相切.此時點O運動了8cm,所求運動時間為:t==4(s);
③如圖,當點O運動到BC的中點時,AC⊥OD,OC=OD=6cm,所以AC與半圓O所在的圓相切.此時點O運動了14cm,所求運動時間為:t==7(s);
④如圖,當點O運動到B點的右側,且OB=12cm時,過點O作OQ⊥AB,垂足為Q.在Rt△QOB中,∠OBQ=30°,則OQ=6cm,即OQ等于半圓O所在的圓的半徑,所以直線AB與半圓O所在的圓相切.此時點O運動了32cm,所求運動時間為:t==16(s).
綜上所述:t=1s或4s或7s或16s.
(2)當△ABC的一邊所在的直線與半圓O所在的圓相切時,半圓O與直徑DE圍成的區(qū)域與△ABC三邊圍成的區(qū)域有重疊部分的只有如圖②與③所示的兩種情形.
①如圖②,設OA與半圓O的交點為M,易知重疊部分是圓心角為90°,半徑為6cm的扇形,所求重疊部分面積為:S扇形EOM=π×62=9π(cm2);
②如圖③,設AB與半圓O的交點為P,連接OP,過點O作OH⊥AB,垂足為H.
則PH=BH.在Rt△OBH中,∠OBH=30°,OB=6cm,則OH=3cm,BH=3cm,BP=6cm,S△POB=×6×3=9(cm2),又因為∠DOP=2∠DBP=60°,所以S扇形DOP==6π(cm2),所求重疊部分面積為:S△POB+S扇形DOP=9+6π(cm2).
綜上所述:重疊面積為或.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知銳角如圖,
(1)在射線上取一點,以點為圓心,長為半徑作弧,交射線于點,連接;
(2)以點為圓心,長為半徑作弧,交弧于點;
(3)連接,.作射線.
根據(jù)以上作圖過程及所作圖形,下列結論中錯誤的是( )
A.B.若,則
C.垂直平分D.
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【題目】如圖,在中,點是的中點,點、分別是線段及其延長線上,且,給出下列條件:①;②;③,從中選擇一個條件使四邊形是菱形,并給出證明,你選擇的條件是________(只填寫序號).
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦DE交AB于點F,⊙O的切線BC與AD的延長線交于點C,連接AE.
(1)試判斷∠AED與∠C的數(shù)量關系,并說明理由;
(2)若AD=3,∠C=60°,點E是半圓AB的中點,則線段AE的長為 .
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【題目】如圖,在中,,,動點從點出發(fā),沿運動,點在運動過程中速度始終為,以點為圓心,線段長為半徑作圓,設點的運動時間為,當與有個交點時,此時的值不可能是( )
A. B. C. D.
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【題目】在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中,建立如圖所示的平面直角坐標系△ABC是格點三角形(頂點在網(wǎng)格線的交點上)
(1)先作△ABC關于原點O成中心對稱的△A1B1C1,再把△A1B1C1向上平移4個單位長度得到△A2B2C2;
(2)△A2B2C2與△ABC是否關于某點成中心對稱?若是,直接寫出對稱中心的坐標;若不是,請說明理由.
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【題目】如圖,平面直角坐標系中,點A、B、C在x軸上,點D、E在y軸上,OA=OD=2,OC=OE=4,B為線段OA的中點,直線AD與經過B、E、C三點的拋物線交于F、G兩點,與其對稱軸交于M,點P為線段FG上一個動點(與F、G不重合),PQ∥y軸與拋物線交于點Q.
(1)求經過B、E、C三點的拋物線的解析式;
(2)判斷△BDC的形狀,并給出證明;當P在什么位置時,以P、O、C為頂點的三角形是等腰三角形,并求出此時點P的坐標;
(3)若拋物線的頂點為N,連接QN,探究四邊形PMNQ的形狀:①能否成為菱形;②能否成為等腰梯形?若能,請直接寫出點P的坐標;若不能,請說明理由.
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【題目】如圖,拋物線y=﹣+bx+c交x軸于點A(﹣2,0)和點B,交y軸于點C(0,3),點D是x軸上一動點,連接CD,將線段CD繞點D旋轉得到DE,過點E作直線l⊥x軸,垂足為H,過點C作CF⊥l于F,連接DF.
(1)求拋物線解析式;
(2)若線段DE是CD繞點D順時針旋轉90°得到,求線段DF的長;
(3)若線段DE是CD繞點D旋轉90°得到,且點E恰好在拋物線上,請求出點E的坐標.
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【題目】隨著人們經濟收入的不斷提高,汽車已越來越多地進入到各個家庭.某大型超市為緩解停車難問題,建筑設計師提供了樓頂停車場的設計示意圖.按規(guī)定,停車場坡道口上坡要張貼限高標志,以便告知車輛能否安全駛入.如圖,地面所在的直線ME與樓頂所在的直線AC是平行的,CD的厚度為0.5m,求出汽車通過坡道口的限高DF的長(結果精確到0.1m,sin28°≈0.47,cos28°≈0.88,tan28°≈0.53).
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