Question

15．如圖，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$與一次函數(shù)y=ax+b的圖象交于點A（2，2）、B（$\frac{1}{2}$，n）．
（1）求這兩個函數(shù)解析式；
（2）將一次函數(shù)y=ax+b的圖象沿y軸向下平移m個單位，使平移后的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象有且只有一個交點，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由點A在反比例函數(shù)的圖象上，結合反比例函數(shù)圖象上的點的坐標特征即可得出反比例函數(shù)的解析式；由點B的橫坐標以及反比例函數(shù)的解析式即可得出點B的坐標，再由A、B點的坐標利用待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)得解析式；
（2）結合（1）中得結論找出平移后的直線的解析式，將其代入反比例函數(shù)解析式中，整理得出關于x的二次方程，令其根的判別式△=0，即可得出關于m的一元二次方程，解方程即可得出結論．

解答 解：（1）∵A（2，2）在反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$的圖象上，
∴k=4．
∴反比例函數(shù)的解析式為$y=\frac{4}{x}$．
又∵點B（$\frac{1}{2}$，n）在反比例函數(shù)$y=\frac{4}{x}$的圖象上，
∴$\frac{1}{2}n=4$，解得：n=8，
即點B的坐標為（$\frac{1}{2}$，8）．
由A（2，2）、B（$\frac{1}{2}$，8）在一次函數(shù)y=ax+b的圖象上，
得：$\left\{{\begin{array}{l}{2=2a+b}\\{8=\frac{1}{2}a+b}\end{array}}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-4}\\{b=10}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)的解析式為y=-4x+10．
（2）將直線y=-4x+10向下平移m個單位得直線的解析式為y=-4x+10-m，
∵直線y=-4x+10-m與雙曲線$y=\frac{4}{x}$有且只有一個交點，
令$-4x+10-m=\frac{4}{x}$，得4x²+（m-10）x+4=0，
∴△=（m-10）²-64=0，
解得：m=2或m=18．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、根的判別式以及解一元二次方程，解題的關鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）利用根的判別式得出關于m的一元二次方程．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，將一次函數(shù)解析式代入反比例函數(shù)解析式中，由交點的個數(shù)結合根的判別式得出方程（或不等式）是關鍵．