Question

5．拋物線(xiàn)y=ax²-2ax-3a與x軸交于A、B兩點(diǎn)（其中A在左側(cè)，B在右側(cè)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（2，3）．
（1）求拋物線(xiàn)解析式；
（2）點(diǎn)D為線(xiàn)段AC上一動(dòng)點(diǎn)（與A、C不重合），過(guò)D作直線(xiàn)EF∥y軸交拋物線(xiàn)于E．交x軸于F，請(qǐng)求出當(dāng)DE最大時(shí)的E點(diǎn)坐標(biāo)和DF長(zhǎng)；
（3）是否存在點(diǎn)E，使△DCE為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）把C點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax²-2ax-3a可求出a的值，從而得到拋物線(xiàn)的解析式；
（2）先解方程-x²+2x+3=0得到A（-1，0），B（3，0），再利用待定系數(shù)法確定直線(xiàn)AC的解析式為y=x+1，可設(shè)D（t，t+1）（-1＜t＜2），則E（t，-t²+2t+3），所以DE=-t²+t+2，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題；
（3）設(shè)D（t，t+1）（-1＜t＜2），則E（t，-t²+2t+3），DE=-t²+t+2，先把表示出DF=AF=t+1得到△ADF為等腰直角三角形，則∠ADF=45°，然后分類(lèi)討論：當(dāng)CE=CD，作CH⊥DE于H，如圖，易得△CDE為等腰直角三角形，則CH=$\frac{1}{2}$DE=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{1}{2}$t+1，于是得到方程t-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{1}{2}$t+1=2，記住解方程求出t即可得到此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)ED=EC，則∠ECD=∠EDC=45°，可判斷EC∥x軸，所以點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為3，然后計(jì)算二次函數(shù)值為3所對(duì)應(yīng)的自變量的值即可得到D點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)DE=DC=-t²+t+2，而利用兩點(diǎn)間的距離公式得到DC=$\sqrt{2}$（2-t），所以-t²+t+2=$\sqrt{2}$（2-t），接著解方程求出t即可得到此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）把C（2，3）代入y=ax²-2ax-3a得4a-4a-3a=3，解得a=-1，
所以?huà)佄锞�(xiàn)的解析式為y=-x²+2x+3；
（2）當(dāng)y=0時(shí)，-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=3，則A（-1，0），B（3，0），
設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y=kx+b，把A（-1，0），C（2，3）得$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{2k+b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
所以直線(xiàn)AC的解析式為y=x+1，
設(shè)D（t，t+1）（-1＜t＜2），則E（t，-t²+2t+3），
∴DE=-t²+2t+3-（t+1）=-t²+t+2=-（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時(shí)，DE有最大值，最大值為$\frac{9}{4}$，
此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），DF的長(zhǎng)為$\frac{3}{2}$；
（3）存在．
設(shè)D（t，t+1）（-1＜t＜2），則E（t，-t²+2t+3），DE=-t²+t+2，
∵DF=t+1，AF=t-（-1）=t+1，
∴△ADF為等腰直角三角形，
∴∠ADF=45°，
當(dāng)CE=CD，作CH⊥DE于H，如圖，
∵∠CDE=∠ADF=45°，
∴△CDE為等腰直角三角形，
∴DH=EH=CH=$\frac{1}{2}$DE=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{1}{2}$t+1，
∴t-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{1}{2}$t+1=2，解得t₁=1，t₂=2（舍去），此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）；
當(dāng)ED=EC，則∠ECD=∠EDC=45°，
∴EC∥x軸，
∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為3，
當(dāng)y=3時(shí)，-t²+2t+3=3，解得t₁=0，t₂=2（舍去），此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1）；
當(dāng)DE=DC=-t²+t+2，
∵DC=$\sqrt{（2-t）^{2}+（3-t-1）^{2}}$=$\sqrt{2}$（2-t），
∴-t²+t+2=$\sqrt{2}$（2-t），解得t₁=$\sqrt{2}$-1，t₂=2（舍去），此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$-1，$\sqrt{2}$）；
綜上所述，滿(mǎn)足條件的D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）或（0，1）或（$\sqrt{2}$-1，$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和等腰三角形的判定與性質(zhì)；會(huì)求拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，記住兩點(diǎn)間的距離公式；學(xué)會(huì)運(yùn)用分類(lèi)討論的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．