Question

如圖，拋物線（其中m，n為常數(shù)且m＞n）與y軸正半軸交于A點，它的對稱軸交x軸正半軸于C點，拋物線的頂點為P，Rt△ABC的直角頂點B在對稱軸上，當(dāng)它繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△A′B′C。
（1）寫出點A，P，A′的坐標(biāo)（用含m，n的式子表示）；
（2）若直線BB'交y軸于E點，求證：線段B′E與AA′互相平分；
（3）若點A′在拋物線上且Rt△ABC的面積為1時，請求出拋物線的解析式并判斷在拋物線的對稱軸上是否存在點D，使△AA′D為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的D點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。
[注：拋物線y=ax²+bx+c頂點坐標(biāo)是]

Answer 1

解：（1）令x=0，得到y(tǒng)=n，
∴A（0，n），且m＞n＞0，
∵，
∴P（m，m²+n）,
根據(jù)題意得，∠ABC=∠AOC=∠OCB=90°，
∴四邊形ABCO是矩形,
∴BC=AO=B′C=n，AB=A′B′=OC=m,
∴A′點坐標(biāo)為（m+n，m）;
（2）連接EA′，AB′，
∵BC=B′C，∠BCB′=90°，
∴∠EB′O=45°，
∵∠EOB′=90°，
∴∠OEB′=45°，
∴OB′=OE=m+n，
∵AO=n，
∴EA=m，
∵A′B′=m，
∴A′B′=EA，
∵∠A′B′C=90°，
∴EA∥A′B′，
∴四邊形AEA′B′是平行四邊形，
∴對角線B′E與AA′互相平分；
（3）∵點A′（m+n，m）在拋物線上，
∴m=-，
整理得：m-n=（m+n）（m-n）
∵m＞n，即m-n≠0，
∴m+n=3，即n=3-m，
∵AB·BC=1，即mn=1，
把n=3-m代入m·n=1得，m（3-m）=1，
解得或（不合題意舍去）
∴拋物線解析式為，
∴A'（3，2），A（0，1），
結(jié)論：在拋物線的對稱軸上存在點D，使△AA′D為等腰三角形．點D的坐標(biāo)為：_D1（2，1+），D₂（2，1-），D₃（2，5），D₄（2，-1），D₅（2，0）。