Question

（2007•西城區(qū)一模）如圖，圓O的半徑OA與OB互相垂直，P是線段OB延長(zhǎng)線上的一動(dòng)點(diǎn)，線段AP交圓O于點(diǎn)D，過(guò)D點(diǎn)作圓O的切線交OP于點(diǎn)E．
（1）觀察圖形，點(diǎn)P在移動(dòng)過(guò)程中比較DE與EP的大小關(guān)系，并對(duì)你的結(jié)論加以證明；
（2）作DH⊥OP于點(diǎn)H，若HE=6，DE=4

3

，求圓O半徑的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）DE=EP，連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)定理和圓的半徑相等即可證明結(jié)論成立；
（2）由題意可知△DHE為直角三角形，利用銳角三角函數(shù)關(guān)系求出∠HED=30°，進(jìn)而求出∠DOB=60°，問(wèn)題得解．

解答：解：（1）DE=EP…（1分）
證明如下：連接OD，
∵EF是⊙O的切線，
∴OD⊥EF，
∵OA=OD
∴∠OAP=∠ODA
∴∠EDP=∠ADF=90°-∠ODA=90°-∠OAP
∵AO⊥OP
∴∠P=90°-∠OAP
∴∠P=∠EDP，
∴DE=EP；

（2）在Rt△DHE中，
∵HE=6，DE=4

3

，∠DHE=90°
∴cos∠HED=

6

4 3

=

3

2

，
∴∠HED=30°
∴∠DOB=60°，
∵△ODE是直角三角形，DE=4

3

，
∴OD=4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的切線的性質(zhì)定理，圓的半徑組成的等腰三角形和等腰三角形的判定以及解直角三角形得有關(guān)知識(shí)，題目的難度中等．