Question

19．如圖，五邊形DEFGH是邊長為2的正五邊形，⊙O是正五邊形DEFGH的外接圓，過點D作⊙D的切線，與GH、FE的延長線交分別于點B和C，延長HG、EF相交于點A，那么AB的長度是2+2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 先證明AG=AF，由SSS得到△OHD與△OED全等，得出∠ODH=∠ODE=54°，證出∠B=∠C=72°，利用SSS得到△GBD與△AGF全等，得出GB=AG，即G為AB的中點，求出HD，GH，BD的長，設(shè)GB=xcm，由△DHB∽△GBD，利用相似三角形對應邊成比例列出比例式，求出x的值，即可得出結(jié)果．

解答 解：∵五邊形DEFGH是正五邊形，
∴∠HDE=∠DEF=∠EFG=∠FGH=∠GHD=108°，
∴∠BHD=∠CED=∠AGF=∠AFG=72°，
∴AG=AF，
同理：AF=CF，
同理：AF=CF，
∴GF=$\frac{1}{2}$BC，
∴△AGF是等腰三角形；
連接DG，如圖所示：
∵BC是⊙O的切線，
∴OD⊥BC，
∴∠BFO=∠CFO=90°，
在△OHD與△OED中，
$\left\{\begin{array}{l}{OH=OD}&{\;}\\{OD=OE}&{\;}\\{HD=HE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OHD≌△OED（SSS），
∴∠ODH=∠ODE=54°，
∴∠HDB=∠EDC=36°，
∴∠B=∠C=72°，
∴BD=DH=DE=DC=GF，
在△GBD和△AGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=GB}&{\;}\\{GF=BD}&{\;}\\{DG=AF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△GBD≌△AGF（SSS），
∴GB=AG，
∴點G是線段AB的中點；
∵五邊形DEFGH是正五邊形，
∴BD=DH=GH=2，
設(shè)GB=x，
∵∠BDH=∠BGD，∠B=∠B，
∴△DHB∽△GBD，
∴$\frac{DH}{GB}=\frac{BH}{BD}$，即$\frac{2}{x}$=$\frac{x-2}{2}$，
整理得：x²-2x-4=0，
解得：x=1±$\sqrt{5}$（負值舍去），
∴AG=GB=1+$\sqrt{5}$，
∴AB=2+2$\sqrt{5}$；
故答案為：2+2$\sqrt{5}$．

點評 此題考查了正五邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，切線的性質(zhì)；熟練掌握正五邊形的性質(zhì)，證明三角形全等和三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．