Question

（1）如圖1，邊長為1的正三角形ABC，曲線AP₁P₂P₃P₄P₅…叫做“正三角形的漸開線”，其中，AP₁、P₁P₂、P₂P₃、P₃P₄、P₄P₅…的圓心依次按B、C、A、B、C…循環(huán)，由題意可求得：曲線AP₁P₂P₃P₄P₅的長度為

 

；如果按這樣的規(guī)律一直持續(xù)下去，則曲線AP₁P₂P₃P₄P₅…P_n的長度為

 

．
（2）如圖2，邊長為1的正四邊形ABCD，曲線AP₁P₂P₃P₄P₅…叫做“正四邊形的漸開線”，其中，AP₁、P₁P₂、P₂P₃、P₃P₄、P₄P₅…的圓心依次按B、C、D、A、B…循環(huán)，由題意可求得：曲線AP₁P₂P₃P₄P₅的長度為

 

；如果按這樣的規(guī)律一直持續(xù)下去，則曲線AP₁P₂P₃P₄P₅…P_n的長度為

 

．
（3）如圖3，邊長為1的正五邊形ABCDE，曲線AP₁P₂P₃P₄P₅…叫做“正五邊形的漸開線”，其中，AP₁、P₁P₂、P₂P₃、P₃P₄、P₄P₅…的圓心依次按B、C、D、E、A…循環(huán)，由題意可求得：曲線AP₁P₂P₃P₄P₅的長度為

 

；如果按這樣的規(guī)律一直持續(xù)下去，則曲線AP₁P₂P₃P₄P₅…P_n的長度為

 

．
（4）由以上結(jié)論猜想：邊長為1的正m邊形，曲線AP₁P₂P₃P₄P₅…叫做“正m邊形的漸開線”，其中，AP₁、P₁P₂、P₂P₃、P₃P₄、P₄P₅…的圓心依次按B、C、D、E、F…循環(huán)，則曲線AP₁P₂P₃P₄P₅…P_n的長度為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題,弧長的計(jì)算

專題：

分析：（1）利用正三角形的外角與n的關(guān)系，然后再利用漸開線中第n重的關(guān)系求值．
（2）利用正方形的外角與n的關(guān)系，然后再利用漸開線中第n重的關(guān)系求值．
（3）利用正五邊形的外角與n的關(guān)系，然后再利用漸開線中第n重的關(guān)系求值．
（4）利用正n邊形的外角與n的關(guān)系，然后再利用漸開線中第n重的關(guān)系求值．

解答：解：（1）AP₁P₂P₃P₄P₅的長度為 AP₁+P₁P₂+P₂P₃+P₃P₄+P₄P₅=

120π

180

×1+

120π

180

×2+

120π

180

×3+

120π

180

×4+

120π

180

×5=10π；
如果按這樣的規(guī)律一直持續(xù)下去，則曲線AP₁P₂P₃P₄P₅…P_n的長度為

120π

180

×1+

120π

180

×2+

120π

180

×3+…+

120π

180

×n=

2π

3

•（1+2+3+…+n）=

n(n+1)

3

π．
（2）“正四邊形的漸開線”曲線AP₁P₂P₃P₄P₅的長度為AP₁+P₁P₂+P₂P₃+P₃P₄+P₄P₅=

90π

180

×1+

90π

180

×2+

90π

180

×3+

90π

180

×4+

90π

180

×5=

15

2

π；
如果按這樣的規(guī)律一直持續(xù)下去，則曲線AP₁P₂P₃P₄P₅…P_n=

90π

180

×1+

90π

180

×2+

90π

180

×3+…+

90π

180

×n=

1

2

π•（1+2+3+…+n）=

n(n+1)

4

π，
（3））“正五邊形的漸開線”曲線AP₁P₂P₃P₄P₅的長度為AP₁+P₁P₂+P₂P₃+P₃P₄+P₄P₅=

72π

180

×1+

72π

180

×2+

72π

180

×3+

72π

180

×4+

72π

180

×5=6π；
如果按這樣的規(guī)律一直持續(xù)下去，則曲線AP₁P₂P₃P₄P₅…P_n=

72π

180

×1+

72π

180

×2+

72π

180

×3+…

72π

180

×n=

2

5

π•（1+2+3+…+n）=

n(n+1)

5

π，
（4）“正m邊形的漸開線”，AP₁P₂P₃P₄P₅…P_n=

360

180m

π×1+

360

180m

π×2+

360

180m

π×3+…+

360

180m

π×n=

360

180m

π×（1+2+…+n）=

n(n+1)

m

π．
故答案為：10π，

n(n+1)

3

π，

15

2

π，

n(n+1)

4

π，6π，

n(n+1)

5

π，

n(n+1)

m

π．

點(diǎn)評：本題主要考查了圓的綜合題及弧長的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是明白n邊形的外角與n的關(guān)系，然后再利用漸開線中第n重的關(guān)系求值．