Question

11．如圖1，在△ABC中．∠C=90°，AC＞BC，正方形CDEF的頂點(diǎn)D在邊AC上，點(diǎn)F在射線CB上設(shè)CD=x，正方形CDEF與△ABC重疊部分的面積為S，S關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示（其中0＜x≤m，m＜x≤2，2＜x≤n時(shí)，函數(shù)的解析式不同）．
（1）填空：m的值為$\frac{3}{2}$；
（2）求S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；
（3）S的值能否為$\frac{13}{2}$？若能，直接寫出此時(shí)x的值；若不能，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)0＜x≤m時(shí)，結(jié)合圖形可知S=x²，把點(diǎn)（m，$\frac{9}{4}$）代入可求得m的值；
（2）結(jié)合圖形的變換可知當(dāng)m＜x≤2時(shí)，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，可求得BC，當(dāng)x=m時(shí)，可得△BEF∽△BAC，利用相似三角形的性質(zhì)可求得AC的長(zhǎng)，當(dāng)m＜x≤2，設(shè)AB分別交DE、EF于點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)，可用x分別表示出PE和QE，S=S_{正方形CDEF}-S_△PEQ，可得到S與x的關(guān)系式，當(dāng)2＜x≤n時(shí)，設(shè)AB交DE于點(diǎn)H，可用x表示出AP和PH，則有S=S_△ABC-S_△APH，可得到S與x的關(guān)系式，從而可求得函數(shù)解析式；
（3）利用（2）中所求得關(guān)系式，分別令S=$\frac{13}{2}$，解相應(yīng)的方程進(jìn)行判斷即可．

解答 解：（1）當(dāng)0＜x≤m時(shí)，如圖1，

則可知點(diǎn)F從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AB上，
∴S=x²，
∵點(diǎn)（m，$\frac{9}{4}$）在函數(shù)圖象上，
∴m²=$\frac{9}{4}$，解得m=$\frac{3}{2}$或m=-$\frac{3}{2}$（舍去），
故答案為：$\frac{3}{2}$；
（2）當(dāng)$\frac{3}{2}$＜x≤2時(shí)，可知點(diǎn)F從E點(diǎn)在AB上運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，
∴BC=2，
在圖1中，由EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴$\frac{BF}{BC}$=$\frac{EF}{AC}$，且CF=EF=$\frac{3}{2}$，BF=BC-CF=2-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}}{2}$=$\frac{\frac{3}{2}}{AC}$，解得AC=6，
①當(dāng)0＜x≤$\frac{3}{2}$時(shí)，由（1）可知S=x²；
②當(dāng)$\frac{3}{2}$＜x≤2時(shí)，設(shè)AB分別交DE、EF于點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)，如圖2，

當(dāng)CD=CF=DE=EF=x時(shí)，BF=2-x，AD=6-x，
∵EF∥AC，
∴$\frac{BF}{BC}$=$\frac{FQ}{AC}$，即$\frac{2-x}{2}$=$\frac{FQ}{6}$，
∴FQ=3（2-x），
∴QE=EF-FQ=x-3（2-x）=4x-6，
同理可得$\frac{PD}{BC}$=$\frac{AD}{AC}$，即$\frac{PD}{2}$=$\frac{6-x}{6}$，
∴PD=$\frac{1}{3}$（6-x），
∴PE=DE-PD=x-$\frac{1}{3}$（6-x）=$\frac{1}{3}$（4x-6），
∴S_△PEQ=$\frac{1}{2}$PE•PQ=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$（4x-6）•（4x-6）=$\frac{1}{6}$（4x-6）²，
∴S=S_{正方形CDEF}-S_△PEQ=x²-$\frac{1}{6}$（4x-6）²=-$\frac{5}{3}$x²+8x-6；
③當(dāng)2＜x≤6時(shí)，即點(diǎn)F從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到使A、D重合，設(shè)AB交DE于點(diǎn)H，如圖3，

當(dāng)CD=x時(shí)，則AD=6-x，
同理可得$\frac{DH}{BC}$=$\frac{AD}{AC}$，即$\frac{DH}{2}$=$\frac{6-x}{6}$，
∴DH=$\frac{1}{3}$（6-x），
∴S_△ADH=$\frac{1}{2}$DH•AD=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$（6-x）•（6-x）=$\frac{1}{6}$（6-x）²，且S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=6，
∴S=S_△ABC-S_△APH=6-$\frac{1}{6}$（6-x）²=-$\frac{1}{6}$x²+2x；
綜上可知S=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}（0＜x＜\frac{3}{2}）}\\{-\frac{5}{3}{x}^{2}+8x-6（\frac{3}{2}＜x≤2）}\\{-\frac{1}{6}{x}^{2}+2x（2＜x≤6）}\end{array}\right.$，且0＜x≤6；
（3）若S=$\frac{13}{2}$，則有三種情況，
①當(dāng)x²=$\frac{13}{2}$時(shí)，則x=±$\frac{\sqrt{26}}{2}$，當(dāng)x=-$\frac{\sqrt{26}}{2}$時(shí)顯然不滿足條件，當(dāng)x=$\frac{\sqrt{26}}{2}$時(shí)，$\frac{\sqrt{26}}{2}$＞$\frac{3}{2}$，也不滿足條件；
②當(dāng)-$\frac{5}{3}$x²+8x-6=$\frac{13}{2}$時(shí)，整理可得10x²-48x+75=0，該方程判別式△=48²-4×10×75＜0，即該方程無(wú)實(shí)數(shù)解；
③當(dāng)-$\frac{1}{6}$x²+2x=$\frac{13}{2}$時(shí)，整理可得x²-12x+39=0，該方程判別式△=12²-4×39＜0，即該方程無(wú)實(shí)數(shù)解；
綜上可知S的值不能為$\frac{13}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題為四邊形的綜合應(yīng)用，涉及知識(shí)點(diǎn)有正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、一元二次方程及分類討論等．確定出正方形所運(yùn)動(dòng)到的位置與對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，在（2）、（3）中確定出AC和BC的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，特別是第（2）問(wèn)難度較大．