Question

14．現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)容器，分別裝有進(jìn)水管和出水管，且兩容器各自的進(jìn)水速度不變、出水速度不變．甲、乙兩容器的進(jìn)水管和出水管均關(guān)閉．現(xiàn)先打開乙容器的進(jìn)水管，2分鐘后再打開甲容器的進(jìn)水管，又過(guò)2分鐘關(guān)閉甲容器的進(jìn)水管，再過(guò)4分鐘同時(shí)打開甲容器的進(jìn)、出水管，直到12分鐘時(shí)，同時(shí)關(guān)閉兩容器的進(jìn)、出水管，打開和關(guān)閉水管的時(shí)間忽略不計(jì)．甲、乙兩容器中各自的水量y（升）與乙容器注水時(shí)間x（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示．
（1）求甲容器的進(jìn)、出水速度；
（2）在乙容器打開進(jìn)水管到乙容器關(guān)閉進(jìn)水管的12分鐘內(nèi)，是否存在甲、乙兩容器的水量相等的情況，若存在，求出此時(shí)的時(shí)間和乙容器中的水量．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)“進(jìn)水速度=進(jìn)水量÷進(jìn)水時(shí)間”即可算出甲容器的進(jìn)水速度，再根據(jù)“出水速度=進(jìn)水速度-水量增大速度”即可算出甲容器的出水速度；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象上給出的點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出y_甲關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，代入x=3，求出y_甲值，再根據(jù)該點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出y_乙關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，分段令y_甲=y_乙求出x值，再將其代入y_乙關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式中求出y_乙的值，此題得解．

解答 解：（1）甲容器的進(jìn)水速度為：10÷（4-2）=5（升/分），
甲容器的出水速度為：5-（18-10）÷（12-8）=3（升/分）．
答：甲容器的進(jìn)水速度為5升/分，出水速度為3升/分．
（2）設(shè)甲容器中各自的水量y_甲（升）與乙容器注水時(shí)間x（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系式為y_甲=kx+b，
當(dāng)2≤x≤4時(shí)，有$\left\{\begin{array}{l}{0=2k+b}\\{10=4k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=5}\\{b=-10}\end{array}\right.$，
此時(shí)y_甲=5x-10；
當(dāng)4＜x≤8時(shí)，y_甲=10；
當(dāng)8＜x≤12時(shí)，有$\left\{\begin{array}{l}{10=8k+b}\\{18=12k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
此時(shí)y_甲=2x-6．
綜上可知：y_甲=$\left\{\begin{array}{l}{5x-10（2≤x≤4）}\\{10（4＜x≤8）}\\{2x-6（8＜x≤12）}\end{array}\right.$．
當(dāng)x=3時(shí)，y_甲=5×3-10=5（升）．
設(shè)乙容器中各自的水量y_乙（升）與乙容器注水時(shí)間x（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系式為y_乙=ax+2，
將（3，5）代入y_乙=ax+2中，得：5=3a+2，解得：a=1，
∴y_乙=x+2．
當(dāng)2≤x≤4時(shí)，令y_甲=y_乙，即5x-10=x+2，
解得：x=3，此時(shí)y_乙=3+2=5；
當(dāng)4＜x≤8時(shí)，令y_甲=y_乙，即10=x+2，
解得：x=8，此時(shí)y_乙=8+2=10；
當(dāng)8＜x≤12時(shí)，令y_甲=y_乙，即2x-6=x+2，
解得：x=8（舍去）．
答：在乙容器打開進(jìn)水管到乙容器關(guān)閉進(jìn)水管的12分鐘內(nèi)，存在甲、乙兩容器的水量相等的情況，此時(shí)的時(shí)間為3分或8分，乙容器中的水量為5升或10升．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、一次函數(shù)的圖象以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)數(shù)量關(guān)系直接算出結(jié)果；（2）利用待定系數(shù)法分別求出y_甲、y_乙關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)函數(shù)圖象找出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．