Question

在5×5的方格棋盤內(nèi)的一個格中填入一個數(shù)-1，其余的格填1，每次操作是任取一個k×k的正方形（2≤k≤5），將其中的所有數(shù)都變號，問：-1填入哪一格才能通過適當(dāng)?shù)挠邢薮尾僮�，使棋盤中所有數(shù)都變?yōu)?？

Answer 1

考點：染色問題

專題：

分析：先根據(jù)題意得出含有偶數(shù)個黑色格，再根據(jù)黑格內(nèi)各數(shù)的積不變，始終為-1，得出黑格中至少有一個為-1，不可能全都變?yōu)?，從而得出黑格都不能填-1，再將圖形進行旋轉(zhuǎn)90°，180°，270°，即可得出1填入哪一格才能通過適當(dāng)?shù)挠邢薮尾僮�；再�?1填入中心方格放，先取左上的3×3和右下的3×3正方形進行操作，或先取左下的2×2和右上的2×2正方形進行操作，最后取全部的5×5正方形進行操作即可得出答案．

解答：解：將5×5的棋盤按如圖所示的若干個格染成黑色，對任何一個k×k（2≤k≤5）的正方形，必含有偶數(shù)個黑色格，
如果將最初的-1填入黑色格中，那么每次改變偶數(shù)個黑格的符號，從而黑格內(nèi)各數(shù)的積不變，始終為-1，
從而黑格中至少有一個-1，不可能全都變?yōu)?，于是，所有黑格都不能填-1，
將上述圖形進行旋轉(zhuǎn)90°，180°，270°，得到另外的黑格集，-1也不能放如這些黑格中，這些黑格集包含了除中心外的所有方格，
故-1最多放在中心這一方格中．
當(dāng)中心方格放-1時，先取左上的3×3正方形進行操作，再取右下的3×3正方形進行操作，又先取左下的2×2正方形進行操作，再取右上的2×2正方形進行操作，最后取全部的5×5正方形進行操作即可，使所有數(shù)都變?yōu)?．

點評：此題考查了染色問題，解題的關(guān)鍵是推斷出-1所在的位置，并畫出圖形，主要考查了學(xué)生的想象能力，難度有點大，解題思路不是很容易想出，做題時要細(xì)心．