Question

（2013•松江區(qū)模擬）已知拋物線y=ax²+bx+c過點A（-1，0），B（4，0），P（5，3），拋物線與y軸交于點C．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）求tan∠APC的值；
（3）在拋物線上求一點Q，過Q點作x軸的垂線，垂足為H，使得∠BQH=∠APC．

Answer 1

分析：（1）因為拋物線過A（-1，0），B（4，0），P（5，3），所以把以上三個點的坐標(biāo)分別代入解析式組成方程組求出a和b、c的值即可求出二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)x=0，則y=-2，則可求出C點的坐標(biāo)，由A（-1，0），P（5，3）可求出PA，AC，PC的長，利用勾股定理的逆定理可判定△APC是直角三角形，再由正切的定義即可求出tan∠APC的值；
（3））因為Q拋物線上，所以可設(shè)Q的坐標(biāo)為（x，

1

2

x²-

3

2

x-2），如∠BQH=∠APC，則tan∠BQH=tan∠APC=

1

3

，進而得到關(guān)于x的方程，解方程求出符合題意的x值即可取出Q的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c過點A（-1，0），B（4，0），P（5，3），
∴

a-b+c=0 16a+4b+c=0 25a+5b+c=3

，
解得：

a= 1 2 b=- 3 2 c=-2

，
故拋物線的解析式是y=

1

2

x²-

3

2

x-2；

（2）設(shè)x=0，則y=-2，
∴拋物線與y軸交于點C的坐標(biāo)是（0，-2），
∵A（-1，0），P（5，3），
∴PA=3

5

，AC=

5

，PC=5

2

，
∵PA²+AC²=50，PC²=50，
∴PA²+AC²=PC²，
∴△APC是直角三角形，
∴∠PAC=90°，
∵tan∠APC=

AC

PA

=

1

3

；

（3）∵Q拋物線上，
∴設(shè)Q的坐標(biāo)為（x，

1

2

x²-

3

2

x-2），
則QH=|

1

2

x²-

3

2

x-2|，OH=|x-4|，
∵∠BQH=∠APC，
∴tan∠BQH=tan∠APC=

OH

QH

=

1

3

，
即

|x-4|

| 1 2 x2- 3 2 x-2|

=

1

3

，
∴

x-4

1 2 x2- 3 2 x-2

=

1

3

或

x-4

1 2 x2- 3 2 x-2

=-

1

3

，
解得：x₁=4，x₂=5或x₁=4，x₂=-7，
∴Q（4，0）（舍），Q（5，3）（舍），Q（-7，33）．
綜上所述在拋物線上求一點Q，過Q點作x軸的垂線，垂足為H，使得∠BQH=∠APC時，Q的坐標(biāo)為（-7，33）．

點評：本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)的圖象和坐標(biāo)軸的交點、勾股定理和其逆定理的運用、銳角三角函數(shù)的運用和一元二次方程的解得問題，其中第三小題的關(guān)鍵點是由拋物線的解析式正確的設(shè)出Q點的坐標(biāo)．