【題目】閱讀:圓是最完美的圖形,它具有一些特殊的性質(zhì):同弧或等弧所對的圓周角相等,一條弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半……先構(gòu)造“輔助圓”,再利用圓的性質(zhì)將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,往往能化隱為顯、化難為易。
解決問題:如圖,點A與點B的坐標(biāo)分別是(1,0),(5,0),點P是該直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個動點.
(1)使∠APB=30°的點P有_______個;
(2)若點P在y軸正半軸上,且∠APB=30°,求滿足條件的點P的坐標(biāo);
(3)設(shè)sin∠APB=m,若點P在y軸上移動時, 滿足條件的點P有4個,求m的取值范圍.
【答案】(1)無數(shù);(2)(0, )或(0, );(3)0﹤m﹤.
【解析】試題分析:(1)已知點A、點B是定點,要使∠APB=30°,只需點P在過點A、點B的圓上,且弧AB所對的圓心角為60°即可,顯然符合條件的點P有無數(shù)個.
(2)結(jié)合(1)中的分析可知:當(dāng)點P在y軸的正半軸上時,點P是(1)中的圓與y軸的交點,借助于垂徑定理、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識即可求出符合條件的點P的坐標(biāo).
(3)由三角形外角的性質(zhì)可證得:在同圓或等圓中,同弧所對的圓周角大于同弧所對的圓外角.要∠APB最大,只需構(gòu)造過點A、點B且與y軸相切的圓,切點就是使得∠APB最大的點P,由此即可求出m的范圍.
試題解析:解:(1)以AB為邊,在第一象限內(nèi)作等邊三角形ABC,以點C為圓心,AC為半徑作⊙C,交y軸于點P1、P2.
在優(yōu)弧AP1B上任取一點P,如圖1,則∠APB=∠ACB=×60°=30°,∴使∠APB=30°的點P有無數(shù)個.
故答案為:無數(shù).
(2)點P在y軸的正半軸上,過點C作CG⊥AB,垂足為G,如圖1.
∵點A(1,0),點B(5,0),∴OA=1,OB=5,∴AB=4.
∵點C為圓心,CG⊥AB,∴AG=BG=AB=2,∴OG=OA+AG=3.
∵△ABC是等邊三角形,∴AC=BC=AB=4,∴CG=
=
=2,∴點C的坐標(biāo)為(3,2).
過點C作CD⊥y軸,垂足為D,連接CP2,如圖1.∵點C的坐標(biāo)為(3,2),∴CD=3,OD=2.
∵P1、P2是⊙C與y軸的交點,∴∠AP1B=∠AP2B=30°.
∵CP2=CA=4,CD=3,∴DP2==.
∵點C為圓心,CD⊥P1P2,∴P1D=P2D=,∴P1(0,2+),P2(0,2﹣).
(3)當(dāng)過點A、B的⊙E與y軸相切于點P時,∠APB最大.
理由:可證:∠APB=∠AEH,當(dāng)∠APB最大時,∠AEH最大.由sin∠AEH= 得:當(dāng)AE最小即PE最小時,∠AEH最大.所以當(dāng)圓與y軸相切時,∠APB最大.∵∠APB為銳角,∴sin∠APB隨∠APB增大而增大,.
連接EA,作EH⊥x軸,垂足為H,如圖2.∵⊙E與y軸相切于點P,∴PE⊥OP.
∵EH⊥AB,OP⊥OH,∴∠EPO=∠POH=∠EHO=90°,∴四邊形OPEH是矩形,∴OP=EH,PE=OH=3,∴EA=3.sin∠APB=sin∠AEH=,∴m的取值范圍是.
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【題目】已知,如圖,四邊形ABCD是邊長為2的菱形,E、F分別是AB、AD的中點,連EF,將△FAE繞點F旋轉(zhuǎn)180°得△FDM.
(1)求證:EF⊥AC.
(2)若∠B=60°,求以E、M、C為頂點的三角形的面積.
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【題目】如圖,梯形AOBC的頂點A,C在反比例函數(shù)圖象上,OA∥BC,上底邊OA在直線y=x上,下底邊BC交y軸于B(0,﹣4),則四邊形AOBC的面積為_____.
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【題目】某學(xué)校計劃在“陽光體育”活動課程中開設(shè)乒乓球、羽毛球、籃球、足球四個體育活動項目供學(xué)生選擇,為了估計全校學(xué)生對這四個活動項日的選擇情況,體育老師從全體學(xué)生中隨機抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查(規(guī)定每人必須并且只能選擇其中的一個項目),并把調(diào)查結(jié)果繪制成如圖所示的不完整的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖,請你根據(jù)圖中信息解答下列問題:
(1)求參加這次調(diào)查的學(xué)生人數(shù),并補全條形統(tǒng)計圖;
(2)求扇形統(tǒng)計圖中“籃球”項目所對應(yīng)扇形的圓心角度數(shù);
(3)若該校共有1600名學(xué)生,試估計該校選擇“足球”項目的學(xué)生有多少人?
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【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AB是直徑,⊙O的切線PC交BA的延長線于點P,OF∥BC交AC于點E,交PC于點F,連結(jié)AF.
(1)判斷AF與⊙O的位置關(guān)系并說明理由;
(2)若AC=24,AF=15,求sinB.
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【題目】成語“運籌帷幄”中“籌”的原意是指《孫子算經(jīng)》中記載的“算籌”.算籌是中國古代用來進(jìn)行計算的工具,它是將幾寸長的小竹棍擺在平面上進(jìn)行運算,算籌的擺放形式有縱、橫兩種形式(如圖).
當(dāng)表示一個多位數(shù)時,像阿拉伯計數(shù)一樣,把各個數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列,但各位數(shù)碼的算籌需要縱、橫相間:個位,百位,萬位數(shù)用縱式表示;十位,千位,十萬位數(shù)用橫式表示:“0”用空位來代替,以此類推,如:數(shù)3306用算籌表示成.用算籌表示的數(shù)是______.
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【題目】嘉琪同學(xué)要證明命題“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”是正確的,她先用尺規(guī)作出了如圖所示的□ABCD,并寫出了如下尚不完整的已知和求證.
已知:如圖,在四邊形ABCD中,BC=AD,AB= .
求證:四邊形ABCD是 四邊形.
(1)補全已知和求證(在方框中填空);
(2)嘉琪同學(xué)想利用三角形全等,依據(jù)“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”來證明.請你按她的想法完成證明過程.
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【題目】在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是斜邊BC的中點,連接AD.
(1)如圖1,E是AC的中點,連接DE,將△CDE沿CD翻折到△CDE′,連接AE′,當(dāng)AD=時,求AE的值.
(2)如圖2,在AC上取一點E,使得CE=AC,連接DE,將△CDE沿CD翻折到△CDE′,連接AE′交BC于點F,求證:DF=CF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:M=3a2+4ab -5a-6,N=a2-2ab-4
(1)化簡:5M-(3N + 4M),結(jié)果用含a、b的式子表示.
(2)若式子5M-(3N + 4M)的值與字母a的取值無關(guān),求b4+M-N-的值.
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