Question

設(shè)PQ是邊長(zhǎng)為1的正△ABC的外接圓內(nèi)的一條弦．已知AB和AC的中點(diǎn)都在PQ上．那么，PQ的長(zhǎng)等于

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：正多邊形和圓,解一元二次方程-公式法,相交弦定理

專題：計(jì)算題

分析：設(shè)PD=x，EQ=y由相交弦定理得PD•DQ=AD•BD，AE•CE=EQ•PE，代入求出x=y，再代入上式即可求出x的值，即PQ=2x+

1

2

，代入即可求出答案．

解答：解：設(shè)PD=x，EQ=y，
∵AB和AC的中點(diǎn)都在PQ上，
∴D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，
∵正△ABC的邊長(zhǎng)為1，
∴AD=BD=1，AE=CE=1，DE=

1

2

BC=1，
由相交弦定理得：PD•DQ=AD•BD，AE•CE=EQ•PE，
即x（

1

2

+y）=

1

2

×

1

2

y（

1

2

+x）=

1

2

×

1

2

，
解得：x=y，
即；x（

1

2

+x）=

1

4

，
解得：x=

5

4

-

1

4

，
∴PQ=2×（

5

4

-

1

4

）+

1

2

=

5

2

．
故答案為：

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正多邊形與圓，相交弦定理，用公式法解一元二次方程等知識(shí)點(diǎn)，解此題的關(guān)鍵是利用相交弦定理求出PD和EQ的關(guān)系．