Question

如圖，在拋物線y=x²上取一點P，在x軸上取一點A，使OP=PA，過點A作x軸的垂線與直線OP交于點Q，當(dāng)△APQ為正三角形時，試求△APQ的面積．

Answer 1

考點：二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征

專題：計算題

分析：作PH⊥OA于H，如圖，根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可設(shè)P（t，t²），由PA=PO得到OA=OH，∠POA=∠PAO，再利用△APQ為正三角形得到PQ=PA，∠APQ=60°，所以PO=PQ，∠POA=30°，然后在Rt△POH中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得t=

3

t²，解得t₁=

3

3

，t₂=0（舍去），即OH=

3

3

，PH=

1

3

，
所以O(shè)A=2OH=

2 3

3

，然后根據(jù)S_△PAQ=S_△POA和三角形面積公式計算．

解答：解：作PH⊥OA于H，如圖，設(shè)P（t，t²），
∵PA=PO，
∴OA=OH，∠POA=∠PAO，
∵△APQ為正三角形，
∴PQ=PA，∠APQ=60°，
∴PO=PQ，∠POA=30°，
在Rt△POH中，∵∠POH=30°，OH=t，PH=t²，
∴OH=

3

PH，即t=

3

t²，解得t₁=

3

3

，t₂=0（舍去），
∴OH=

3

3

，PH=

1

3

，
∴OA=2OH=

2 3

3

，
∵OP=PQ，
∴S_△PAQ=S_△POA=

1

2

•

2 3

3

•

1

3

=

3

9

．

點評：本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)滿足其解析式．也考查了等邊三角形的性質(zhì)．