如圖,AB是⊙O直徑,D為⊙O上一點(diǎn),AT平分∠BAD交⊙O于點(diǎn)T,過(guò)T作AD的垂線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C.
(1)求證:CT為⊙O的切線;
(2)若⊙O半徑為2,CT=,求AD的長(zhǎng).
(1)證明見(jiàn)試題解析;(2)2.
【解析】
試題分析:(1)連接OT,根據(jù)角平分線的性質(zhì),以及直角三角形的兩個(gè)銳角互余,證得CT⊥OT,CT為⊙O的切線;
(2)證明四邊形OTCE為矩形,求得OE的長(zhǎng),在直角△OAE中,利用勾股定理即可求解.
試題解析:(1)連接OT,∵OA=OT,∴∠OAT=∠OTA,又∵AT平分∠BAD,∴∠DAT=∠OAT,∴∠DAT=∠OTA,∴OT∥AC,又∵CT⊥AC,∴CT⊥OT,∴CT為⊙O的切線;
(2)解:過(guò)O作OE⊥AD于E,則E為AD中點(diǎn),又∵CT⊥AC,∴OE∥CT,∴四邊形OTCE為矩形,∵CT=,∴OE=,又∵OA=2,∴在Rt△OAE中,,∴AD=2AE=2.
考點(diǎn):1.切線的判定與性質(zhì);2.勾股定理;3.圓周角定理.
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