Question

如圖，已知拋物線y=-x²+2x+3與一直線相交于A（-1，0），C（2，3）兩點，與y軸交于點N，拋物線的對稱軸是直線x=1，其頂點為D（1，4）
（1）若點P是直線AC上方拋物線上的一個動點，過點P作PM∥y軸，交直線AC于點M，當(dāng)線段PM的長度最大時，請求出最大值及點P的坐標(biāo)
（2）連接AN，在拋物線的對稱軸上是否存在點E，使∠EAC=∠ANO，若存在，請求出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）代入A，C兩點可求得直線AC解析式，根據(jù)PM=-x²+2x+3-（x+1）即可解題；
（2）存在2種情況：①∠EAC=∠ANO，②∠E'AC=∠ANO，即可求得tan∠EAB的值，即可求得直線AE斜率，根據(jù)直線經(jīng)過A點即可求得直線AE解析式，即可求得直線和拋物線交點，即可解題．

解答：解：（1）設(shè)點P坐標(biāo)為（x，y），
∵直線AC經(jīng)過A，C兩點，設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，
則有

-k+b=0 2k+b=3

，
解得：k=1，b=1，
∴直線AC解析式為y=x+1，
∴線段PM長度=-x²+2x+3-x-1=-x²+x+2，
∴當(dāng)x=-

b

2a

=

1

2

時，線段PM長度有最大值為

5

2

；

（2）存在2種情況：

①∠EAC=∠ANO，
∵∠CAB=45°，
∴tan∠CAB=1，
∵tan∠ANO=

1

3

，
∴tan∠EAC=

1

3

，
∴tan∠EAB=tan（∠CAB-∠EAC）=

1- 1 3

1+ 1 3

=

1

2

，
∵直線AE經(jīng)過點A，
∴直線AE解析式為：y=

1

2

x+

1

2

，
∴點E坐標(biāo)為：（

5

2

，

7

4

）；
②∠E′AC=∠ANO，
∵∠CAB=45°，
∴tan∠CAB=1，
∵tan∠ANO=

1

3

，
∴tan∠E'AC=

1

3

，
∴tan∠E'AB=tan（∠CAB+∠E'AC）=

1+ 1 3

1- 1 3

=2，
∵直線AE經(jīng)過點A，
∴直線AE解析式為：y=2x+2，
∴點E坐標(biāo)為：（1，4）；
∴存在點E，坐標(biāo)為（1，4）或（

5

2

，

7

4

）．

點評：本題考查了拋物線解析式的求解，考查了拋物線和直線交點的求解，考查了三角函數(shù)的運用，本題中求得直線AE的解析式是解題的關(guān)鍵．