Question

【題目】如圖，在矩形紙片中，，對折矩形紙片，使與重合，折痕為，展平后再過點折疊，使點落在上的點，折痕為．再次展平，連接，，有下列結論：①；②與相似；③的長為：④若分別為線段上的動點（不包含端點），則的最小值是．其中正確結論的序號是__________．

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

①如圖，連接AN，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AN=BN，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AB=BN，推理出△ABN為等邊三角形，得到∠ABN=60°，于是得到∠ABM=∠MBN=∠CBN=30°，即結論①正確；

②根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得∠BNM=∠BAD=90°，∠BEN=∠AEN=90°，根據(jù)相似三角形的判定定理得到△BEN與△BMN相似，即結論②正確；

③解直角三角形得到MN=BN=，即結論③錯誤；

④過A作AQ⊥BN于Q交BM于P，則此時PN+PQ的值最小，且PN+PQ=AQ，解直角三角形得到PN+PQ的最小值是 .即結論④正確．

解:①如圖，連接AN，

∵EF垂直平分AB，∴AN=BN，

根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得AB=BN，

∴AN=AB=BN=2．

∴△ABN為等邊三角形，

∴∠ABN=60°，

∴∠ABM=∠MBN=∠CBN=30°，

即結論①正確；

②根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得∠BNM=∠BAD=90°，∠BEN=∠AEN=90°，

∴∠BEN=∠BNM，

∵∠MBN=30°，∠EBN=60°，∴∠BMN=60°，

∴∠EBN=∠BMN，

∴△BEN與△BMN相似，

即結論②正確；

③∵∠ABM=∠MBN=30°，BN=AB=2，∠BNM=∠BAM=90°，

∴MN=BN=，即結論③錯誤；

④∵A點和N點關于BM對稱，

∴過A點作于Q交BM于P，

此時PN+PQ的值最小，且PN+PQ=AQ，

∵∠ABQ=60°，AB=2，

∴AQ=AB=，

∴PN+PQ的最小值是 .

即結論④正確．

故答案為①②④．