已知拋物線C1的頂點(diǎn)為P(1,0),且過點(diǎn)(0,數(shù)學(xué)公式).將拋物線C1向下平移h個單位(h>0)得到拋物線C2.一條平行于x軸的直線與兩條拋物線交于A、B、C、D四點(diǎn)(如圖),且點(diǎn)A、C關(guān)于y軸對稱,直線AB與x軸的距離是m2(m>0).
(1)求拋物線C1的解析式的一般形式;
(2)當(dāng)m=2時(shí),求h的值;
(3)若拋物線C1的對稱軸與直線AB交于點(diǎn)E,與拋物線C2交于點(diǎn)F.求證:tan∠EDF-tan∠ECP=數(shù)學(xué)公式

(1)解:設(shè)拋物線C1的頂點(diǎn)式形式y(tǒng)=a(x-1)2,(a≠0),
∵拋物線過點(diǎn)(0,),
∴a(0-1)2=
解得a=,
∴拋物線C1的解析式為y=(x-1)2,
一般形式為y=x2-x+;

(2)解:當(dāng)m=2時(shí),m2=4,
∵BC∥x軸,
∴點(diǎn)B、C的縱坐標(biāo)為4,
(x-1)2=4,
解得x1=5,x2=-3,
∴點(diǎn)B(-3,4),C(5,4),
∵點(diǎn)A、C關(guān)于y軸對稱,
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-5,4),
設(shè)拋物線C2的解析式為y=(x-1)2-h,
(-5-1)2-h=4,
解得h=5;

(3)證明:∵直線AB與x軸的距離是m2,
∴點(diǎn)B、C的縱坐標(biāo)為m2,
(x-1)2=m2,
解得x1=1+2m,x2=1-2m,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1+2m,m2),
又∵拋物線C1的對稱軸為直線x=1,
∴CE=1+2m-1=2m,
∵點(diǎn)A、C關(guān)于y軸對稱,
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1-2m,m2),
∴AE=ED=1-(-1-2m)=2+2m,
設(shè)拋物線C2的解析式為y=(x-1)2-h,
(-1-2m-1)2-h=m2,
解得h=2m+1,
∴EF=h+m2=m2+2m+1,
∴tan∠EDF-tan∠ECP=-=-=-=,
∴tan∠EDF-tan∠ECP=
分析:(1)設(shè)拋物線C1的頂點(diǎn)式形式y(tǒng)=a(x-1)2,(a≠0),然后把點(diǎn)(0,)代入求出a的值,再化為一般形式即可;
(2)先根據(jù)m的值求出直線AB與x軸的距離,從而得到點(diǎn)B、C的縱坐標(biāo),然后利用拋物線解析式求出點(diǎn)C的橫坐標(biāo),再根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù),縱坐標(biāo)相同求出點(diǎn)A的坐標(biāo),然后根據(jù)平移的性質(zhì)設(shè)出拋物線C2的解析式,再把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入求出h的值即可;
(3)先把直線AB與x軸的距離是m2代入拋物線C1的解析式求出C的坐標(biāo),從而求出CE,再表示出點(diǎn)A的坐標(biāo),根據(jù)拋物線的對稱性表示出ED,根據(jù)平移的性質(zhì)設(shè)出拋物線C2的解析式,把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入求出h的值,然后表示出EF,最后根據(jù)銳角的正切值等于對邊比鄰邊列式整理即可得證.
點(diǎn)評:本題是二次函數(shù)綜合題型,主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,二次函數(shù)圖象與結(jié)合變換,關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征,拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,銳角的正切的定義,(3)用m表示出相應(yīng)的線段是解題的關(guān)鍵,也是本題的難點(diǎn).
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•株洲)已知拋物線C1的頂點(diǎn)為P(1,0),且過點(diǎn)(0,
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).將拋物線C1向下平移h個單位(h>0)得到拋物線C2.一條平行于x軸的直線與兩條拋物線交于A、B、C、D四點(diǎn)(如圖),且點(diǎn)A、C關(guān)于y軸對稱,直線AB與x軸的距離是m2(m>0).
(1)求拋物線C1的解析式的一般形式;
(2)當(dāng)m=2時(shí),求h的值;
(3)若拋物線C1的對稱軸與直線AB交于點(diǎn)E,與拋物線C2交于點(diǎn)F.求證:tan∠EDF-tan∠ECP=
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知拋物線C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是D(1,4),且經(jīng)過點(diǎn)C(2,3),又與x軸交于點(diǎn)A、E(點(diǎn)A在點(diǎn)E左邊),與y軸交于點(diǎn)B.
(1)拋物線C1的表達(dá)式是
y=-x2+2x+3
y=-x2+2x+3
;
(2)四邊形ABDE的面積等于
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;
(3)問:△AOB與△DBE相似嗎?并說明你的理由;
(4)設(shè)拋物線C1的對稱軸與x軸交于點(diǎn)F.另一條拋物線C2經(jīng)過點(diǎn)E(C2與C1不重合),且頂點(diǎn)為M(a,b),對稱軸與x軸交于點(diǎn)G,并且以M、G、E為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)D、E、F為頂點(diǎn)的三角形全等,求a、b的值.(只需寫出結(jié)果,不必寫解答過程).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,已知拋物線C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是D(1,4),且經(jīng)過點(diǎn)C(2,3),又與x軸交于點(diǎn)A、E(點(diǎn)A在點(diǎn)E左邊),與y軸交于點(diǎn)B.
(1)拋物線C1的表達(dá)式是______;
(2)四邊形ABDE的面積等于______;
(3)問:△AOB與△DBE相似嗎?并說明你的理由;
(4)設(shè)拋物線C1的對稱軸與x軸交于點(diǎn)F.另一條拋物線C2經(jīng)過點(diǎn)E(C2與C1不重合),且頂點(diǎn)為M(a,b),對稱軸與x軸交于點(diǎn)G,并且以M、G、E為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)D、E、F為頂點(diǎn)的三角形全等,求a、b的值.(只需寫出結(jié)果,不必寫解答過程).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2013年湖南省株洲市中考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

已知拋物線C1的頂點(diǎn)為P(1,0),且過點(diǎn)(0,).將拋物線C1向下平移h個單位(h>0)得到拋物線C2.一條平行于x軸的直線與兩條拋物線交于A、B、C、D四點(diǎn)(如圖),且點(diǎn)A、C關(guān)于y軸對稱,直線AB與x軸的距離是m2(m>0).
(1)求拋物線C1的解析式的一般形式;
(2)當(dāng)m=2時(shí),求h的值;
(3)若拋物線C1的對稱軸與直線AB交于點(diǎn)E,與拋物線C2交于點(diǎn)F.求證:tan∠EDF-tan∠ECP=

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