(1)解:設(shè)拋物線C
1的頂點(diǎn)式形式y(tǒng)=a(x-1)
2,(a≠0),
∵拋物線過點(diǎn)(0,
),
∴a(0-1)
2=
,
解得a=
,
∴拋物線C
1的解析式為y=
(x-1)
2,
一般形式為y=
x
2-
x+
;
(2)解:當(dāng)m=2時(shí),m
2=4,
∵BC∥x軸,
∴點(diǎn)B、C的縱坐標(biāo)為4,
∴
(x-1)
2=4,
解得x
1=5,x
2=-3,
∴點(diǎn)B(-3,4),C(5,4),
∵點(diǎn)A、C關(guān)于y軸對稱,
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-5,4),
設(shè)拋物線C
2的解析式為y=
(x-1)
2-h,
則
(-5-1)
2-h=4,
解得h=5;
(3)證明:∵直線AB與x軸的距離是m
2,
∴點(diǎn)B、C的縱坐標(biāo)為m
2,
∴
(x-1)
2=m
2,
解得x
1=1+2m,x
2=1-2m,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1+2m,m
2),
又∵拋物線C
1的對稱軸為直線x=1,
∴CE=1+2m-1=2m,
∵點(diǎn)A、C關(guān)于y軸對稱,
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1-2m,m
2),
∴AE=ED=1-(-1-2m)=2+2m,
設(shè)拋物線C
2的解析式為y=
(x-1)
2-h,
則
(-1-2m-1)
2-h=m
2,
解得h=2m+1,
∴EF=h+m
2=m
2+2m+1,
∴tan∠EDF-tan∠ECP=
-
=
-
=
-
=
,
∴tan∠EDF-tan∠ECP=
.
分析:(1)設(shè)拋物線C
1的頂點(diǎn)式形式y(tǒng)=a(x-1)
2,(a≠0),然后把點(diǎn)(0,
)代入求出a的值,再化為一般形式即可;
(2)先根據(jù)m的值求出直線AB與x軸的距離,從而得到點(diǎn)B、C的縱坐標(biāo),然后利用拋物線解析式求出點(diǎn)C的橫坐標(biāo),再根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù),縱坐標(biāo)相同求出點(diǎn)A的坐標(biāo),然后根據(jù)平移的性質(zhì)設(shè)出拋物線C
2的解析式,再把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入求出h的值即可;
(3)先把直線AB與x軸的距離是m
2代入拋物線C
1的解析式求出C的坐標(biāo),從而求出CE,再表示出點(diǎn)A的坐標(biāo),根據(jù)拋物線的對稱性表示出ED,根據(jù)平移的性質(zhì)設(shè)出拋物線C
2的解析式,把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入求出h的值,然后表示出EF,最后根據(jù)銳角的正切值等于對邊比鄰邊列式整理即可得證.
點(diǎn)評:本題是二次函數(shù)綜合題型,主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,二次函數(shù)圖象與結(jié)合變換,關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征,拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,銳角的正切的定義,(3)用m表示出相應(yīng)的線段是解題的關(guān)鍵,也是本題的難點(diǎn).