Question

已知：△ABC是等邊三角形．
（1）用直尺和圓規(guī)分別作△ABC的角平分線BE、CD，BE，CD交于點O（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）過點C畫射線CF⊥BC，垂足為C，CF交射線BE與點F．求證：△OCF是等邊三角形；
（3）若AB=2，請直接寫出△OCF的面積．

Answer 1

考點：作圖—復(fù)雜作圖,等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用直尺和圓規(guī)即可作出；
（2）根據(jù)等邊三角形的每個角的度數(shù)是60°，以及三角形的內(nèi)角和定理，證明∠F=∠FCO=60°即可證得；
（3）作OG⊥BC于點G，△OBC是等腰三角形，利用三角函數(shù)求得OC的長，則△OCF的面積即可求得．

解答：解：（1）

BE、CD就是所求；
（2）∵BE是∠ABC的平分線，
∴∠FBC=

1

2

∠ABC=

1

2

×60°=30°，
同理，∠BCD=30°．
∵CF⊥BC，即∠BCF=90°，
∴∠F=∠FCO=60°，
∴△OCF是等邊三角形；
（3）作OG⊥BC于點G．
∵∠FBC=∠DCB=30°，
∴OB=OC，
∴CG=

1

2

BC=

1

2

AB=1，
∴OC=

CG

cos∠OCG

=

1

cos30°

=

2 3

3

．
則S_等邊△OCF=

3 ( 2 3 3 )2

4

=

3

3

．

點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)以及判定，和尺規(guī)作圖，正確求得OC的長度是本題的關(guān)鍵．