Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=18，cosB=，把△ABC繞著點C旋轉(zhuǎn)，使點B與AB邊上的點D重合，點A落在點E處，則線段AE的長為（ ）

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

Answer 1

【答案】C

【解析】先解直角△ABC，得出BC=AB×cosB=18×=12，AC==6. 再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出BC=DC=6，AC=EC=3，∠BCD=∠ACE，利用等邊對等角以及三角形內(nèi)角和定理得出∠B=∠CAE，作CM⊥BD于M，作CN⊥AE于N，則∠BCM=∠BCD，∠ACN=∠ACE，∠BCM=∠ACN，解直角△ANC求出AN=AC×cos∠CAN=6×=4，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出AE=2AN=8.

解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AB=18，cosB=，

∴BC=AB×cosB=18×=12，AC==6.

∵把△ABC繞著點C旋轉(zhuǎn)，使點B與AB邊上的點D重合，點A落在點E，

∴△ABC≌△EDC，BC=CD=12，AC=EC=6，∠BCD=∠ACE，

∴∠B=∠CAE.

作CN⊥AE于N，則∠BCM=∠BCD，∠ACN=∠ACE，

∴∠BCM=∠ACN，

∵在△ANC中，∠ANC=90°，AC=6，cos∠CAN=cosB=，

∴AN=AC×cos∠CAN=6×=4，

∴AE=2AN=8.

故答案為：8.