Question

已知如圖，點(diǎn)G是三角形ABC的三條中線AD，BE，CF的交點(diǎn)，求證：
（1）DG=

1

3

AD，EG=

1

3

BE，F(xiàn)G=

1

3

CF；
（2）以AD，BE，CF為邊圍成的三角形的面積是△ABC的

3

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的重心

專題：

分析：（1）由于點(diǎn)G是三角形ABC的重心，根據(jù)三角形重心的性質(zhì)可知AG=2DG，又AG+DG=AD，即可證明DG=

1

3

AD，同理得到EG=

1

3

BE，F(xiàn)G=

1

3

CF；
（2）延長AD到M，使DM=AD，連接BM、MC，取BM中點(diǎn)H，連接FH、CH，則四邊形ABMC為平行四邊形，得AC=BM，又因?yàn)镋、H分別為AC、BM中點(diǎn)，得BH平行且等于EC，則HC=BE，同理得FH平行且等于AD，得到△FCH三邊長即為△ABC三中線長，然后依次求出S_△BFH=

1

4

S_△ABM=

1

4

×

1

2

S_{平行四邊形ABMC}=

1

4

S_△ABC，S_△CAF=

1

2

S_△ABC，S_△CHM=

1

2

S_△CBM=

1

2

S_△ABC，最后得到S_△FCH=S_{平行四邊形ABMC}-S_△BHF-S_△CHM-S_△CAF=2S_△ABC-

1

4

S_△ABC-

1

2

S_△ABC-

1

2

S_△ABC．

解答：證明：（1）∵點(diǎn)G是三角形ABC的三條中線AD，BE，CF的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)G是三角形ABC的重心，
∴AG=2DG，
又AG+DG=AD，
∴DG=

1

3

AD，
同理EG=

1

3

BE，F(xiàn)G=

1

3

CF；

（2）如圖，延長AD到M，使DM=AD，連接BM、MC，取BM中點(diǎn)H，連接FH、CH，
∵DM=AD，BD=CD，
∴四邊形ABMC為平行四邊形，
∴AC=BM，
又∵E、H分別為AC、BM中點(diǎn)，
∴BH平行且等于EC，
∴四邊形BHCE為平行四邊形，
∴HC=BE，
又∵F、H為AB、BM中點(diǎn)，
∴FH平行且等于

1

2

AM，
∴FH平行且等于AD，
∴△FCH三邊長即為△ABC三中線長，
又∵△BHF∽△BMA，

BF

AB

=

1

2

，
∴S_△BFH=

1

4

S_△ABM=

1

4

×

1

2

S_{平行四邊形ABMC}=

1

4

S_△ABC，
∵S_△CAF=

1

2

S_△ABC，S_△CHM=

1

2

S_△CBM=

1

2

S_△ABC，
∴S_△FCH=S_{平行四邊形ABMC}-S_△BHF-S_△CHM-S_△CAF=2S_△ABC-

1

4

S_△ABC-

1

2

S_△ABC-

1

2

S_△ABC=

3

4

S_△ABC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形重心的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，有一定難度．準(zhǔn)確作出輔助線，得出△FCH是以AD，BE，CF為邊圍成的三角形是解第（2）題的關(guān)鍵．